(a) integral cos ^3 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos^3(2x),dx. O conteúdo é integrar potências ímpares de cosseno usando identidade trigonométrica e substituição.

Passo 2

Escrevemos cos^3(2x) como cos(2x)cdotcos^2(2x) para aplicar a identidade trigonométrica.
Substituímos cos^2(2x) por 1-sin^2(2x), obtendo cos^3(2x)=cos(2x)l(1-sin^2(2x)r).

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u=sin(2x). Então du=2cos(2x),dx, ou seja, cos(2x),dx=tfracdu2.
Substituindo na integral, vem
integral cos^3(2x),dx =integral l(1-u^2r)du2 =12integral(1-u^2),du

Passo 4

Agora integramos em u:
12integral(1-u^2),du =12l(u-u^33r)+C

Passo 5

Voltando para x com u=sin(2x), temos
12sin(2x)-16sin^3(2x)+C

Resposta

tfrac12sin(2x)-tfrac16sin^3(2x)+C

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