Para as questões a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo especificado. Em sua resolução, esboce graficamente a região
e o de método a ser empregado no cálculo.
A região R é delimitada pelas funções
e
. Considere a revolução a) em torno do eixo
.
A região R é delimitada pelas funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido de revolução formado pela rotação da região
delimitada pelas funções
e
. Precisamos considerar duas rotações:
a) em torno do eixo
b) em torno da reta .
a) em torno do eixo
b) em torno da reta
Para isso, vamos utilizar o método dos discos e o método das cascas cilíndricas, dependendo do caso. Vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas para determinar os limites de integração e desenhar um esboço da região
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as funções
e
se interceptam. Igualando as duas equações:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
e
. Esses serão nossos limites de integração.
Passo 3
Vamos esboçar a região
. A função
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°, e
é uma parábola que também passa pela origem e pelo ponto
. Entre
e
, a reta está acima da parábola. A região
é a área entre essas duas curvas nesse intervalo.
Passo 4
Parte a): Vamos calcular o volume da revolução de
em torno do eixo
. Aqui, o método dos discos é mais adequado porque a rotação é em torno de um eixo horizontal.
A fórmula do método dos discos é:
No nosso caso,
(a função de cima) e
(a função de baixo), e os limites de integração são de 0 a 1.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 6
Parte b): Agora, vamos calcular o volume da revolução de
em torno da reta
. Nesse caso, o método das cascas cilíndricas é mais apropriado porque a rotação é em torno de uma linha vertical que não coincide com o eixo
.
A fórmula do método das cascas é:
Aqui, a distância de um ponto
até a reta
é
, e a altura da casca é a diferença entre as funções
e
.
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Vamos multiplicar as expressões dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Portanto,
Resposta
a) O volume da revolução em torno do eixo
é
.
b) O volume da revolução em torno da reta
é
.