Para as questões a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo especificado. Em sua resolução, esboce graficamente a região R e o de método a ser empregado no cálculo.
A região R é delimitada pelas funções y=x e y=x^2. Considere a revolução a) em torno do eixo x e b) em torno da reta x=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido de revolução formado pela rotação da região delimitada pelas funções e . Precisamos considerar duas rotações:
a) em torno do eixo
b) em torno da reta .
Para isso, vamos utilizar o método dos discos e o método das cascas cilíndricas, dependendo do caso. Vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas para determinar os limites de integração e desenhar um esboço da região .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as funções x = x^2 implies x^2 - x = 0 implies x(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1 e se interceptam. Igualando as duas equações:
Então, as curvas se interceptam nos pontos e . Esses serão nossos limites de integração.

Passo 3

Vamos esboçar a região . A função é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°, e é uma parábola que também passa pela origem e pelo ponto . Entre e , a reta está acima da parábola. A região é a área entre essas duas curvas nesse intervalo.

Passo 4

Parte a): Vamos calcular o volume da revolução de V = pi integrala^b [ (f(x))^2 - (g(x))^2 ] dx em torno do eixo . Aqui, o método dos discos é mais adequado porque a rotação é em torno de um eixo horizontal.
A fórmula do método dos discos é:
No nosso caso, (a função de cima) e (a função de baixo), e os limites de integração são de 0 a 1.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
V = pi integral0^1 [ (x)^2 - (x^2)^2 ] dx = pi integral0^1 ( x^2 - x^4 ) dx
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral x^2 dx = x^33 e integral x^4 dx = x^55
Então,
V = pi [ x^33 - x^55 ]0^1 = pi ( 13 - 15 ) = pi ( 5 - 315 ) = pi ( 215 ) = 2pi15

Passo 6

Parte b): Agora, vamos calcular o volume da revolução de V = 2pi integrala^b (distance , to , the , axis) times (height) , dx em torno da reta . Nesse caso, o método das cascas cilíndricas é mais apropriado porque a rotação é em torno de uma linha vertical que não coincide com o eixo .
A fórmula do método das cascas é:
Aqui, a distância de um ponto até a reta é , e a altura da casca é a diferença entre as funções e .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
V = 2pi integral0^1 (x + 1)(x - x^2) dx
Vamos multiplicar as expressões dentro da integral:
(x + 1)(x - x^2) = x(x) - x(x^2) + 1(x) - 1(x^2) = x^2 - x^3 + x - x^2 = x - x^3
Então, a integral fica:
V = 2pi integral0^1 (x - x^3) dx

Passo 8

Integrando termo a termo:
integral x dx = x^22 e integral x^3 dx = x^44
Portanto,
V = 2pi [ x^22 - x^44 ]0^1 = 2pi ( 12 - 14 ) = 2pi ( 14 ) = pi2

Resposta

a) O volume da revolução em torno do eixo é .
b) O volume da revolução em torno da reta é .

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