integral cos x+sen xsen 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos x + sin xsin 2x ,dx. Vamos usar identidades trigonométricas e as integrais conhecidas de sec x e csc x.

Passo 2

Primeiro, lembramos que sin 2x = 2sin xcos x. Então:
cos x + sin xsin 2x = cos x + sin x2sin xcos x

Passo 3

Separando as frações obtemos
cos x2sin xcos x + sin x2sin xcos x = 12l(1sin x + 1cos xr) = 12l(csc x + sec xr)

Passo 4

Agora usamos as fórmulas de antiderivadas conhecidas:
integral csc x ,dx = -lnl|csc x + cot xr| + C1, integral sec x ,dx = lnl|sec x + tan xr| + C2
Logo,

Passo 5

Integrando term a term:
integral cos x + sin xsin 2x ,dx = 12integral csc x ,dx + 12integral sec x ,dx = 12l(-lnl|csc x + cot xr| + lnl|sec x + tan xr|r) + C

Passo 6

Para escrever de um jeito mais compacto, juntamos os logaritmos:
12lnl|sec x + tan xcsc x + cot xr| + C

Resposta

integral cos x + sin xsin 2x ,dx = 12lnl|sec x + tan xcsc x + cot xr| + C.

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