(Vale 1,5) Use o Teorema do Confronto para encontrar lim n infty n^2 cos (n)1+n^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze) para encontrar o limite quando $ n $ tende ao infinito de n . A matéria aqui envolve limites e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como o cosseno se comporta e como aplicar o teorema para delimitar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno de qualquer número, cos(n), está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
-1 <= cos(n) <= 1
Isso é uma propriedade fundamental das funções trigonométricas.

Passo 3

A partir dessa desigualdade, vamos multiplicar todos os termos por $ n^{2} $ (que é positivo, então a desigualdade se mantém):
n^2

Passo 4

Agora, vamos dividir toda a desigualdade por $ 1 + n^{2} $ (também positivo, então a desigualdade continua):
1 + n^2

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dos limites das extremidades quando $ n $ tende ao infinito:
n
limn to infty -n^21 + n^2 = -1
Então, temos:
limn to infty n^21 + n^2 = 1

Passo 6

O Teorema do Confronto nos diz que se o limite das duas extremidades for o mesmo valor, então o limite da função no meio também será esse valor. Porém, aqui os limites das extremidades são diferentes (-1 e 1). Isso significa que o limite da nossa função está “confinado” entre -1 e 1, mas não converge para um único valor.

Resposta

O limite lim n infty n^2 cos (n)1+n^2 não existe, pois a expressão oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único valor.

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