(Vale 1,5) Use o Teorema do Confronto para encontrar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze) para encontrar o limite quando $ n $ tende ao infinito de
. A matéria aqui envolve limites e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como o cosseno se comporta e como aplicar o teorema para delimitar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno de qualquer número,
, está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Isso é uma propriedade fundamental das funções trigonométricas.
Passo 3
A partir dessa desigualdade, vamos multiplicar todos os termos por $ n^{2} $ (que é positivo, então a desigualdade se mantém):
Passo 4
Agora, vamos dividir toda a desigualdade por $ 1 + n^{2} $ (também positivo, então a desigualdade continua):
Passo 5
Vamos analisar o comportamento dos limites das extremidades quando $ n $ tende ao infinito:
Então, temos:
Passo 6
O Teorema do Confronto nos diz que se o limite das duas extremidades for o mesmo valor, então o limite da função no meio também será esse valor. Porém, aqui os limites das extremidades são diferentes (-1 e 1). Isso significa que o limite da nossa função está “confinado” entre -1 e 1, mas não converge para um único valor.
Resposta
O limite
não existe, pois a expressão oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único valor.