integral cos ^2 xsen^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral cos^2xsin^4x,dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas em potências. Vamos usar a identidade cos^2x=1-sin^2x e a conversão para funções co-secante e co-tangente: csc x=1/sin x e cot x=cos x/sin x.

Passo 2

Escrevemos a integral em termos de sin x:
cos^2xsin^4x =1-sin^2xsin^4x =1sin^4x-sin^2xsin^4x =csc^4x-csc^2x
Logo,
integral cos^2xsin^4x,dx =integral csc^4x,dx ;-;integral csc^2x,dx

Passo 3

Calculamos
integral csc^2x,dx
Como ddx(cot x)=-csc^2x, obtemos
integral csc^2x,dx=-cot x + C1

Passo 4

Agora calculamos
integral csc^4x,dx
Note que csc^4x=csc^2xcdotcsc^2x e csc^2x=1+cot^2x. Fazendo a substituição
u=cot x, du=-csc^2x,dx,
temos
integral csc^4x,dx =integral csc^2x,(1+cot^2x),dx =-integral (1+u^2),du =-l(u+u^33r)+C2
Voltando a x:
integral csc^4x,dx =-cot x - cot^3x3 + C2

Passo 5

Juntando os dois resultados:
integral cos^2xsin^4x,dx =l[-cot x - cot^3x3r] ;-; l[-cot xr] + C =-cot^3x3+C,
onde C=C2-C1 é a constante geral de integração.

Resposta

-cot^3x3 + C

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