Exercício 7 (ELJ 47)
Mostre que f: R^2 R dada por f(x, y)=cx^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) não é diferenciável em (0,0), mas f circ gamma é diferenciável em t=0, qualquer que seja a curva gamma:]-de<a, de<a[ R^2, gamma(0)=0, derivável em t=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede que mostremos que f não é diferenciável em (0,0), embora para toda curva diferenciável gamma(t)=(x(t),y(t)) com gamma(0)=(0,0), a composição fcircgamma seja diferenciável em t=0. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de derivadas parciais, teste de diferenciabilidade via aproximação linear e expansão de funções compostas ao longo de curvas.]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f em (0,0) pelas definições de limite.
Para partial f/partial x em (0,0) tomamos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^3h^2+0-0h =limhto0h1 =1
Para partial f/partial y em (0,0) tomamos
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00h=0
Logo o candidato a mapa linear que aproximaria f em zero é
L(x,y)=1cdot x+0cdot y=x

Passo 3

Para testar diferenciabilidade, comparamos f(x,y) com L(x,y) ao longo de uma reta não alinhada com eixos. Por exemplo, em y=x temos, para xneq0,
f(x,x)=x^3x^2+x^2=x2, L(x,x)=x
Assim o erro da aproximação é
R(x,x)=f(x,x)-L(x,x)=x2-x=-x2
Mas |(x,x)|=raiz2|x|, logo
|R(x,x)||(x,x)| =|x|2raiz2|x| =12raiz2neq0 (quando xto0)
Como esse quociente não tende a zero, f não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).

Passo 4

Agora seja
onde quando , e .
Para temos
Defina
Uma estimativa mostra que (mesmo no caso , pois o numerador e denominador são ambos mas geram uma função ). Logo
com contínua em zero. Isso implica que é diferenciável em e
]

Resposta

f não é diferenciável em (0,0) porque o erro de aproximação linear não é o(|(x,y)|).
Entretanto, para qualquer curva diferenciável gamma com gamma(0)=(0,0), a composição fcircgamma tem a forma tmapsto t,h(t) com h contínua em 0, logo é diferenciável em t=0.

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