Q 4 Sejam f e g, duas funções tais que f(x)=x-4 e g(x)=x^2-7 x+12x-3.
(a) Por que f e g não são iguais?
(b) Mesmo tendo f e g diferentes, podemos dizer que lim x 3 f(x)=lim x 3 g(x) ? Por que?

Passo 1

O enunciado define duas funções
f(x)=x-4,
g(x)=x^2-7x+12x-3,
e pergunta: (a) por que f e g não são iguais? (b) mesmo assim, limxto3f(x) é igual a limxto3g(x)? Vamos usar definição de igualdade de funções (mesmo domínio e mesma regra) e fatoração de polinômios para comparar, e depois propriedades de limite em ponto de descontinuidade removível.

Passo 2

Para comparar f e g estudamos o domínio e a expressão de g. Note que
x^2-7x+12=(x-3)(x-4),
logo, para xneq3,
g(x)=(x-3)(x-4)x-3=x-4
Mas g não está definida em x=3, pois a expressão original tem denominar x-3. Já f está definida para todo xinR. Portanto f e g têm domínios diferentes (e g(3) não existe), logo não são a mesma função.

Passo 3

Para o limite em x=3 usamos que, em qualquer vizinhança de 3 excluindo 3, vale g(x)=x-4. Assim
limxto3f(x)=limxto3(x-4)=3-4=-1,
limxto3g(x)=limxto3(x-4)=3-4=-1
Como o limite não exige valor da função em x=3, ambos tendem a -1.

Resposta

(a) Porque g não está definida em x=3 enquanto f está; têm domínios diferentes.
(b) Sim. Em torno de x=3, g(x)=x-4 assim como f(x), logo
limxto3f(x)=limxto3g(x)=-1.

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