Calcule f^prime(x) :
f(x)=e^-x sin x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=e^-xsin x. Aqui vamos usar a regra do produto e também a regra da cadeia, pois e^-x envolve uma função composta.

Passo 2

Identificamos u(x)=e^-x e v(x)=sin x. A regra do produto diz que
f’(x)=u’(x),v(x)+u(x),v’(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte: aplicando a regra da cadeia em u(x)=e^-x temos
u’(x)=-e^{-x}.
Já para v(x)=sin x a derivada é
v’(x)=\cos x.

Passo 4

Substituímos na fórmula da regra do produto e, em seguida, fatoramos e^-x:
f’(x)=(-e^{-x})\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x).

Resposta

f'(x)=e^-x(cos x - sin x)

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