1. integral csc (x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral csc(x+1),dx
Esse é um caso de integração de uma função trigonométrica (cosecante). Vamos usar substituição e a fórmula padrão para integral csc u,du.

Passo 2

Fazendo a substituição u = x+1, temos du = dx. Assim a integral vira
integral csc(x+1),dx = integral csc(u),du

Passo 3

Para integrar csc u, usamos a técnica de multiplicar e dividir por csc u + cot u. Observa que
deveríamos ter no numerador a derivada de csc u + cot u, pois
ddul(csc u + cot ur) = -csc ucot u - csc^2 u = -l(csc^2 u + csc ucot ur)

Passo 4

Então escrevemos
integral csc u,du = integral csc u cdot csc u + cot ucsc u + cot u,du = integral csc^2 u + csc ucot ucsc u + cot u,du = -integral d(csc u + cot u)csc u + cot u = -lnl|csc u + cot ur| + C

Passo 5

Voltando para a variável original x, lembrando que u = x+1, obtemos
-lnl|csc(x+1) + cot(x+1)r| + C

Resposta

-\ln\bigl|\csc(x+1)+\cot(x+1)\bigr| + C

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