1. integral e^5 t+1 d t

Passo 1

No enunciado, queremos calcular a integral indefinida integral e^5t+1,dt. Isso faz parte do tema de integrais de funções exponenciais com expressão linear no expoente e vamos usar substituição para resolver.

Passo 2

Lembrando da teoria, sempre que temos integral e^k t,dt o resultado é tfrac1ke^k t+C. Aqui o expoente é 5t+1, então aplicamos substituição para deixar o integrando na forma e^u.
Definimos u=5t+1. Assim, derivando ambos os lados, temos du=5,dt, o que implica dt=tfracdu5.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral e^5t+1,dt = integral e^u cdot du5 = 15integral e^u,du
A integral integral e^u,du é simplesmente e^u. Logo,
15integral e^u,du = 15e^u + C
Voltando para a variável t, substituímos u=5t+1.

Resposta

tfrac15e^5t+1 + C

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