1. integral ctgh(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral de ctgh(2x), que é a função cotangente hiperbólica. Vamos usar a fórmula conhecida de integrais de funções hiperbólicas.

Passo 2

Conhecemos que ctgh(u) = coth(u) e que a integral de coth(u) é ln|sinh(u)| + C. Para aplicar, fazemos a substituição u = 2x.
Calculamos o diferencial: u = 2x implica du = 2,dx ou seja dx = tfrac12,du.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
integral coth(2x),dx = integral coth(u) cdot tfrac12,du = tfrac12 integral coth(u),du

Passo 4

Aplicando a fórmula da integral de coth(u), temos

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = 2x e concluímos que
integral ctgh(2x),dx = tfrac12 lnllvertsinh(2x)rrvert + C

Resposta

12 lnllvertsinh(2x)rrvert + C

Exercícios relacionados