1. integral sen^2 theta cos ^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^2theta cos^2theta , dtheta. Esse tipo de integral envolve redução de potência e identidades trigonométricas, especialmente ângulo duplo e redução de potência.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo do seno:
[\sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta.]
Ao elevar ao quadrado, obtemos:
[\sin^2(2\theta) = 4 \sin^2\theta \cos^2\theta,]
ou seja,
[\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1}{4} \sin^2(2\theta).]

Passo 3

Aplicamos a identidade de redução de potência para sin^2:
[\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}.]
Substituindo alpha = 2theta, vem:
[\sin^2(2\theta) = \frac{1 - \cos(4\theta)}{2}.]
Logo o integrando vale:
[\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} = \frac{1 - \cos(4\theta)}{8}.]

Passo 4

Reescrevemos a integral como:
[\int \sin^2\theta \cos^2\theta , d\theta = \int \frac{1 - \cos(4\theta)}{8} , d\theta = \frac{1}{8} \int (1 - \cos(4\theta)) , d\theta.]

Passo 5

Integramos termo a termo:
Para 1:
[\frac{1}{8} \int 1 , d\theta = \frac{\theta}{8}.]
Para cos(4theta):
[\frac{1}{8} \int -\cos(4\theta) , d\theta = -\frac{1}{8} \cdot \frac{\sin(4\theta)}{4} = -\frac{\sin(4\theta)}{32}.]
Somando e adicionando a constante C, obtemos a antiderivada.

Resposta

theta8 - sin(4theta)32 + C

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