Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. Esse tipo de integral envolve redução de potência e identidades trigonométricas, especialmente ângulo duplo e redução de potência.
Passo 2
Usamos a identidade de ângulo duplo do seno:
[\sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta.]
Ao elevar ao quadrado, obtemos:
[\sin^2(2\theta) = 4 \sin^2\theta \cos^2\theta,]
ou seja,
[\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1}{4} \sin^2(2\theta).]
[\sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta.]
Ao elevar ao quadrado, obtemos:
[\sin^2(2\theta) = 4 \sin^2\theta \cos^2\theta,]
ou seja,
[\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1}{4} \sin^2(2\theta).]
Passo 3
Aplicamos a identidade de redução de potência para
:
[\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}.]
Substituindo , vem:
[\sin^2(2\theta) = \frac{1 - \cos(4\theta)}{2}.]
Logo o integrando vale:
[\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} = \frac{1 - \cos(4\theta)}{8}.]
[\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}.]
Substituindo
[\sin^2(2\theta) = \frac{1 - \cos(4\theta)}{2}.]
Logo o integrando vale:
[\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} = \frac{1 - \cos(4\theta)}{8}.]
Passo 4
Reescrevemos a integral como:
[\int \sin^2\theta \cos^2\theta , d\theta = \int \frac{1 - \cos(4\theta)}{8} , d\theta = \frac{1}{8} \int (1 - \cos(4\theta)) , d\theta.]
[\int \sin^2\theta \cos^2\theta , d\theta = \int \frac{1 - \cos(4\theta)}{8} , d\theta = \frac{1}{8} \int (1 - \cos(4\theta)) , d\theta.]
Passo 5
Integramos termo a termo:
Para :
[\frac{1}{8} \int 1 , d\theta = \frac{\theta}{8}.]
Para :
[\frac{1}{8} \int -\cos(4\theta) , d\theta = -\frac{1}{8} \cdot \frac{\sin(4\theta)}{4} = -\frac{\sin(4\theta)}{32}.]
Somando e adicionando a constante , obtemos a antiderivada.
Para
[\frac{1}{8} \int 1 , d\theta = \frac{\theta}{8}.]
Para
[\frac{1}{8} \int -\cos(4\theta) , d\theta = -\frac{1}{8} \cdot \frac{\sin(4\theta)}{4} = -\frac{\sin(4\theta)}{32}.]
Somando e adicionando a constante