integral d t(t+2)^2(t+1)

Passo 1

O problema pede para calcular a integral imprópria de uma função racional. O conteúdo principal aqui é a técnica de frações parciais, pois temos um denominador do tipo (t+2)^2(t+1). Vamos decompor a função em termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

Precisamos escrever
1(t+2)^2(t+1)=At+1+Bt+2+C(t+2)^2
e então determinar os valores de A,B,C.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (t+1)(t+2)^2 obtemos
1=A(t+2)^2+B(t+1)(t+2)+C(t+1)

Passo 4

Expandindo e coletando termos de potências de t:
1=(A+B)t^2+(4A+3B+C)t+(4A+2B+C)

Passo 5

Igualando coeficientes ao polinômio constante 1=0,t^2+0,t+1, temos o sistema:
A+B=0, 4A+3B+C=0, 4A+2B+C=1

Passo 6

Daí vem B=-A pela primeira equação. Substituindo na segunda, 4A+3(-A)+C=0 A+C=0 logo C=-A. Por fim, na terceira:
4A+2(-A)+(-A)=1implies A=1,
portanto A=1, B=-1 e C=-1. Assim a integral se torna
integraldt(t+2)^2(t+1)=integrall(1t+1-1t+2-1(t+2)^2r)dt

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
integral1t+1dt=ln|t+1|,
integrall(-1t+2r)dt=-ln|t+2|,
integrall(-1(t+2)^2r)dt=-integral(t+2)^-2dt=-( -,(t+2)^-1)=1t+2

Passo 8

Somando tudo e acrescentando a constante +C, chegamos ao resultado final.

Resposta

ln|t+1|-ln|t+2|+1t+2+C

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