O problema pede para calcular a integral imprópria de uma função racional. O conteúdo principal aqui é a técnica de frações parciais, pois temos um denominador do tipo . Vamos decompor a função em termos mais fáceis de integrar.
Passo 2
Precisamos escrever
e então determinar os valores de .
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Passo 4
Expandindo e coletando termos de potências de :
Passo 5
Igualando coeficientes ao polinômio constante , temos o sistema:
Passo 6
Daí vem B=-A pela primeira equação. Substituindo na segunda, 4A+3(-A)+C=0 dá A+C=0 logo C=-A. Por fim, na terceira:
4A+2(-A)+(-A)=1implies A=1,
portanto A=1, B=-1 e C=-1. Assim a integral se torna integraldt(t+2)^2(t+1)=integrall(1t+1-1t+2-1(t+2)^2r)dt