integral d x(x^2+1)^2 e integral d x(x^2+1)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular as primitivas de integraldx(x^2+1)^2 e integraldx(x^2+1)^3. O conteúdo principal é integração por substituição trigonométrica usando x=tan t e as identidades 1+tan^2t=sec^2t e as fórmulas de cos^2t, cos^4t.

Passo 2

Para I1= integraldx(x^2+1)^2, fazemos x=tan t, logo dx=sec^2t,dt e x^2+1=sec^2t. Assim
I1=integralsec^2t,dt(sec^2t)^2=integralcos^2t,dt=integral1+cos2t2,dt=12t+14sin2t+C

Passo 3

Convertendo de volta: t=arctan x e sin2t=2sin tcos t=2xraiz1+x^21raiz1+x^2=2x1+x^2. Logo
I1=12arctan x+12x1+x^2+C

Passo 4

Para I2= integraldx(x^2+1)^3, usamos de novo x=tan t, dx=sec^2t,dt e (x^2+1)^3=sec^6t. Então
I2=integralsec^2tsec^6t,dt=integralcos^4t,dt

Passo 5

Aplicamos a identidade cos^4t=tfrac18(3+4cos2t+cos4t) e integramos:
I2=18integral(3+4cos2t+cos4t),dt=38t+14sin2t+132sin4t+C

Passo 6

Voltando a x: t=arctan x, sin2t=tfrac2x1+x^2 e sin4t=4x1+x^21-x^21+x^2=4x(1-x^2)(1+x^2)^2. Substituindo e colocando sobre denominador comum (1+x^2)^2 obtemos
I2=38arctan x+x(3x^2+5)8(1+x^2)^2+C

Resposta

integraldx(x^2+1)^2=12arctan x+x2(1+x^2)+C
integraldx(x^2+1)^3=38arctan x+x(3x^2+5)8(1+x^2)^2+C

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