Usando as regras de derivação, calcule f^prime(x) de:
f(x)=e^x(2 x+x^5)

Passo 1

A questão nos pede para calcular a derivada de f(x)=e^x(2x+x^5) usando as regras de derivação. O conteúdo envolvido é a regra do produto, a derivada da função exponencial e a regra da potência. Para resolver, vamos precisar lembrar que:
  • Derivada do produto u(x)v(x) é (u v)'=u'v+u v'.
  • Derivada de e^x é e^x.
  • Derivada de x^n é n x^n-1.

Passo 2

Vamos identificar as funções do produto:
u(x)=e^x, v(x)=2x+x^5
Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais:
  • u'(x)=(e^x)'=e^x.
  • v'(x)=(2x+x^5)'=2+5x^4.
    Substituindo em f'(x)=u'v+uv' temos:
f'(x)=e^x(2x+x^5)+e^x(2+5x^4)

Passo 4

Agora, basta fatorar e^x:
f'(x)=e^xl[(2x+x^5)+(2+5x^4)r] =e^x(x^5+5x^4+2x+2)

Resposta

f'(x)=e^xl(x^5+5x^4+2x+2r)

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