1. integral d x3+raiz[3]x+2

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral indefinida integral dx3+raiz[3]x+2. O conteúdo principal é integração por substituição, e vamos precisar usar mudança de variável que elimine a raiz cúbica e depois fazer divisão polinomial.

Passo 2

Fazendo a substituição t=raiz[3]x+2, temos t^3=x+2 e portanto
dx = 3t^2,dt
Assim a integral vira
integral dx3+t = integral 3t^2,dtt+3

Passo 3

Agora fazemos divisão polinomial para simplificar o integrando:
3t^2t+3 = 3,t^2t+3 = 3l(t - 3 + 9t+3r) = 3t - 9 + 27t+3

Passo 4

Portanto
integral 3t^2t+3,dt = integrall(3t -9 + tfrac27t+3r)dt
Integrando termo a termo:
integral 3t,dt = 32t^2, integral(-9),dt = -9t, integral 27t+3,dt = 27lnlvert t+3rvert

Passo 5

Voltando para x (lembre que t=raiz[3]x+2):
32t^2 -9t +27lnlvert t+3rvert + C = 32(x+2)^2/3 -9(x+2)^1/3 +27lnllvertraiz[3]x+2+3rrvert + C

Resposta

32(x+2)^2/3 -9(x+2)^1/3 +27lnllvertraiz[3]x+2+3rrvert + C

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