1. integral d xraiz1+raizx

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral dxraiz1+raizx. O conteúdo envolvido é integração de funções com raízes aninhadas, e vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos fazer a substituição t=raizx. Então x=t^2 e dx=2t,dt. Com isso, a integral vira
[\int \frac{dx}{\sqrt{1+\sqrt{x}}}=\int \frac{2t,dt}{\sqrt{1+t}},.
]

Passo 3

Agora note que traiz1+t=(t+1)-1raiz1+t=raiz1+t-1raiz1+t. A integral fica
[2\int \frac{t}{\sqrt{1+t}},dt=2\int\Bigl(\sqrt{1+t}-\frac{1}{\sqrt{1+t}}\Bigr)dt,.
]

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
[\int(1+t){1/2}dt=\frac{2}{3}(1+t){3/2},\quad \int(1+t){-1/2}dt=2(1+t){1/2}.
]

Passo 5

Multiplicando por 2 e somando as peças, obtemos
[2\Bigl(\tfrac{2}{3}(1+t){3/2}-2(1+t){1/2}\Bigr)=\frac{4}{3}(1+t){3/2}-4(1+t){1/2}+C.
]

Passo 6

Finalmente, voltando à variável original x com t=raizx, chegamos ao resultado.

Resposta

43(1+raizx)^3/2-4(1+raizx)^1/2+C

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