Passo 1
O exercício pede para calcular a integral indefinida
. O conteúdo envolvido é integração de funções com raízes aninhadas, e vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão.
Passo 2
Vamos fazer a substituição
. Então
e
. Com isso, a integral vira
[\int \frac{dx}{\sqrt{1+\sqrt{x}}}=\int \frac{2t,dt}{\sqrt{1+t}},.
]
]
Passo 3
Agora note que
. A integral fica
[2\int \frac{t}{\sqrt{1+t}},dt=2\int\Bigl(\sqrt{1+t}-\frac{1}{\sqrt{1+t}}\Bigr)dt,.
]
]
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
[\int(1+t){1/2}dt=\frac{2}{3}(1+t){3/2},\quad \int(1+t){-1/2}dt=2(1+t){1/2}.
]
]
Passo 5
Multiplicando por 2 e somando as peças, obtemos
[2\Bigl(\tfrac{2}{3}(1+t){3/2}-2(1+t){1/2}\Bigr)=\frac{4}{3}(1+t){3/2}-4(1+t){1/2}+C.
]
]
Passo 6
Finalmente, voltando à variável original
com
, chegamos ao resultado.