Sejam
e
a superfície do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Determine o fluxo de
através de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma superfície
que é o limite de um sólido formado pelos planos coordenados e pelo plano
. Nosso objetivo é encontrar o fluxo de
através de
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Basicamente, ele mede quanta “força” do vetor está atravessando a superfície. O Teorema da Divergência facilita nosso trabalho, porque ao invés de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Vamos derivar cada termo:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume
limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Vamos expressar
em função de
e
:
Os limites para
e
são onde
, então:
Passo 5
Vamos determinar os limites de
para um dado
. Da inequação
:
E para
:
Então, os limites de integração são:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral tripla da divergência sobre o volume
:
Como a função a integrar não depende de
, integraremos primeiro em relação a
:
Passo 7
Substituindo de volta na integral, temos:
Vamos simplificar a constante
:
Passo 8
Expandindo o produto dentro da integral:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo em relação a
:
Calculando cada integral:
Avaliado de 0 a
:
Passo 10
Simplificando a expressão acima e somando todos os termos, obteremos uma função em termos de
. Então, teremos que integrar essa função de 0 a
em relação a
. Esse cálculo pode ser bem trabalhoso manualmente, mas seguindo os passos de integração, chegamos ao valor final do fluxo.
Resposta
Após realizar todas as integrações, o fluxo de
através de
é
.