1. integral d xraiz1-e^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integraldxraiz1-e^x. O conteúdo principal aqui é técnica de substituição em integrais, pois temos uma raiz quadrada envolvendo e^x que complica a integração direta.

Passo 2

Para lidar com a raiz, fazemos a substituição t=raiz1-e^x. Note que então t^2=1-e^x e a integral ficará em função de t.
Derivando t^2=1-e^x em relação a x, obtemos
2t,dt = -e^x,dx
Logo,
dx = -2te^x,dt
Mas de t^2=1-e^x temos e^x=1-t^2. Assim
dx = -2t1-t^2,dt .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integraldxraiz1-e^x = integral -2t1-t^2,dtt = -2integral 11-t^2,dt
Reconhecemos que
ddtl(arctanh(t)r)=11-t^2
Portanto
-2integral 11-t^2,dt = -2,arctanh(t) + C .

Passo 4

Voltando à variável x através de t=raiz1-e^x, a solução final é
-2,arctanhl(raiz1-e^xr)+C .

Resposta

-2,\mathrm{arctanh}\bigl(\sqrt{1-e^x}\bigr)+C

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