Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
. O conteúdo principal aqui é técnica de substituição em integrais, pois temos uma raiz quadrada envolvendo
que complica a integração direta.
Passo 2
Para lidar com a raiz, fazemos a substituição
. Note que então
e a integral ficará em função de
.
Derivando em relação a
, obtemos
Derivando
Logo,
Mas de
temos
. Assim
Passo 3
Substituindo na integral original, temos
Reconhecemos que
Portanto
Passo 4
Voltando à variável
através de
, a solução final é
Resposta
-2,\mathrm{arctanh}\bigl(\sqrt{1-e^x}\bigr)+C