Mostre que
integralC y^2 d x+x y d y+x z d z=0, com C é a curva intersecção do cilindro x^2+y^2=2 y e o plano y=z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha fechada integralC y^2,dx + x y,dy + x z,dz vale zero, onde C é a curva de interseção do cilindro x^2+y^2=2y com o plano y=z. O conteúdo principal aqui é aplicar o Teorema de Stokes a um campo vetorial em R^3, calculando seu rotacional e usando uma superfície cujo contorno é C.

Passo 2

Definimos o campo vetorial F(x,y,z) = (P,Q,R) = (y^2,,x y,,x z). Pelo Teorema de Stokes temos
nabla times F = l(,partial Rpartial y - partial Qpartial z,; partial Ppartial z - partial Rpartial x,; partial Qpartial x - partial Ppartial yr)
Calculando cada componente obtemos
nabla times F = (0 - 0,;0 - z,;y - 2y) = (0,,-z,,-y)

Passo 3

Escolhemos como superfície S a região do plano y=z limitada por C. A equação do plano é phi(x,y,z)=y-z=0, então um vetor normal (não-normalizado) é
nabla phi=(0,1,-1)
O vetor normal unitário à superfície fica
n=(0,1,-1)raiz2
O integrando do Teorema de Stokes é
(nablatimesF)cdotn = (0,-z,-y)cdot(0,1,-1)raiz2 = -z + yraiz2

Passo 4

Mas na própria superfície vale y=z, logo -z + y = 0. Assim
(nablatimesF)cdotn = 0
Portanto, pelo Teorema de Stokes,
integralC y^2,dx + x y,dy + x z,dz = integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados