Mostre que
, com
é a curva intersecção do cilindro
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha fechada
vale zero, onde
é a curva de interseção do cilindro
com o plano
. O conteúdo principal aqui é aplicar o Teorema de Stokes a um campo vetorial em
, calculando seu rotacional e usando uma superfície cujo contorno é
.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
. Pelo Teorema de Stokes temos
Calculando cada componente obtemos
Passo 3
Escolhemos como superfície
a região do plano
limitada por
. A equação do plano é
, então um vetor normal (não-normalizado) é
O vetor normal unitário à superfície fica
O integrando do Teorema de Stokes é
Passo 4
Mas na própria superfície vale
, logo
. Assim
Portanto, pelo Teorema de Stokes,
Resposta
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