1. integral x^2 raiz16-x^2 d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral x^2raiz16-x^2,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição trigonométrica, já que aparece raiza^2-x^2. Vamos usar uma substituição que transforme essa raiz em função trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = 4sintheta,
para que
dx = 4costheta,dtheta enquanto raiz16 - x^2 = 4costheta

Passo 3

Substituindo na integral temos
integral x^2raiz16-x^2,dx =integral l(4sinthetar)^2cdot(4costheta)cdot(4costheta),dtheta =integral 256sin^2theta,cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar sin^2thetacos^2theta usamos a identidade
sin^2thetacos^2theta=tfrac14sin^2(2theta)=tfrac18l(1-cos(4theta)r)
Logo,
integral256sin^2thetacos^2theta,dtheta =256cdottfrac18integrall(1-cos(4theta)r),dtheta =32integral(1-cos4theta),dtheta =32theta -8sin(4theta)+C

Passo 5

Agora voltamos à variável x. Como x=4sintheta, temos
theta=arcsinl(tfracx4r), sintheta=tfracx4, costheta=tfracraiz16-x^24
Para sin(4theta) usamos
sin(2theta)=2sinthetacostheta=xraiz16-x^28, cos(2theta)=1-2sin^2theta=1-x^28,
sin(4theta)=2sin(2theta)cos(2theta) =2cdotxraiz16-x^28cdotl(1-x^28r) =x(8-x^2)raiz16-x^232

Passo 6

Substituindo em 32theta-8sin(4theta) obtemos
32arcsinl(tfracx4r) -8cdotx(8-x^2)raiz16-x^232+C =32arcsinl(tfracx4r) -x(8-x^2)raiz16-x^24+C

Resposta

32arcsin!l(tfracx4r)-x(8-x^2)raiz16-x^24+C

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