1. integral d xraize^2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dxraize^2x-1
O conteúdo principal é integração por substituição, usando tanto a troca exponencial quanto a trigonométrica em sequência.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição exponencial t = e^x. Então
dt = e^x,dx = t,dx Longrightarrow dx = dtt

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de t:
integral dxraize^2x-1 = integral 1raizt^2-1cdot dtt = integral dtt,raizt^2-1

Passo 4

Agora usamos substituição trigonométrica. Como t>1, podemos tomar
t = sectheta, dt = sectheta,tantheta,dtheta,
e note que
raizt^2-1 = raizsec^2theta-1 = tantheta

Passo 5

Substituindo na integral:
integral dtt,raizt^2-1 = integral sectheta,tantheta,dthetasectheta,tantheta = integral dtheta = theta + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável x. Como t = e^x = sectheta, temos
Portanto, a integral original é

Resposta

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