1. integral ctg(4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral ctg(4x),dx. Esse conteúdo faz parte de integrais de funções trigonométricas e vamos precisar usar a mudança de variável (substituição) junto com a fórmula integral ctgu,du = ln|sin u| + C.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 4x, temos du = 4,dx ou dx = tfrac14,du. Assim a integral vira em bloco:
integral ctg(4x),dx = integral ctg(u) cdot 14,du = 14 integral ctg(u),du

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da integral de cotangente. Sabendo que dfracddu[ln|sin u|] = cot u, concluímos:
integral ctg(u),du = ln|sin u| + C

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos u = 4x e obtemos a resposta final:
14ln|sin(4x)| + C

Resposta

14ln|sin(4x)| + C

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