integral tan x sec x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral tan x sec x , dx. Esse exercício envolve funções trigonométricas, especificamente a tangente ( tan x) e a secante ( sec x). Para resolver, vamos usar técnicas de substituição que facilitam a integração dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções trigonométricas envolvidas:
tan x = sin xcos x e sec x = 1cos x
Substituindo essas definições na integral, temos:
integral tan x sec x , dx = integral sin xcos x cdot 1cos x , dx = integral sin xcos^2 x , dx

Passo 3

Agora, vamos aplicar uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = cos x
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -sin x Rightarrow du = -sin x , dx
Isso significa que sin x , dx = -du.

Passo 4

Substituindo u e du na integral, temos:
integral sin xcos^2 x , dx = integral -duu^2 = -integral u^-2 , du

Passo 5

Vamos integrar u^-2:
integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C
Portanto:
-integral u^-2 , du = -( -1u ) + C = 1u + C

Resposta

Substituindo u = cos x de volta na expressão, temos:
integral tan x sec x , dx = 1cos x + C = sec x + C

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