4 (ª) Questão: Calcule a expressão abaixo. Verifique o resultado, calculando a derivada da função que determinou.
\int x\left(x^{2}+1\right) \sqrt{4-2 x{2}-x{4}} d x
\int x\left(x^{2}+1\right) \sqrt{4-2 x{2}-x{4}} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
e depois verificar o resultado derivando a função obtida. Para isso, vamos usar o método de substituição de variável.
Passo 2
Fazemos a substituição
Então
logo
Substituindo na integral original:
Passo 3
Agora integramos em
:
Passo 4
Voltando à variável
com
, a primitiva fica
Passo 5
Para verificar, derivamos
usando regra da cadeia. Com
temos
que é exatamente o integrando original.