4 (ª) Questão: Calcule a expressão abaixo. Verifique o resultado, calculando a derivada da função que determinou.
\int x\left(x^{2}+1\right) \sqrt{4-2 x{2}-x{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral xl(x^2+1r)raiz4-2x^2-x^4;dx
e depois verificar o resultado derivando a função obtida. Para isso, vamos usar o método de substituição de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4 - 2x^2 - x^4
Então
du = l(-4x - 4x^3r),dx = -4xl(1+x^2r),dx,
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xl(1+x^2r),dx = -14,du
Substituindo na integral original:
integral xl(x^2+1r)raiz4-2x^2-x^4;dx = integral raizu;l(-tfrac14,dur) = -14integral u^1/2,du

Passo 3

Agora integramos em u:
-14integral u^1/2,du = -14;u^3/2tfrac32 = -14cdot23,u^3/2 = -16,u^3/2 + C

Passo 4

Voltando à variável x com u = 4 - 2x^2 - x^4, a primitiva fica
F(x) = -16,l(4 - 2x^2 - x^4r)^3/2 + C

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x) usando regra da cadeia. Com u = 4 - 2x^2 - x^4 temos
F'(x) = -16cdot32,u^1/2cdot u' = -14,u^1/2cdotl(-4x-4x^3r) = xl(1+x^2r)raiz4-2x^2-x^4,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

-16,l(4 - 2x^2 - x^4r)^3/2 + C

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