Integral dada
I=\int_{0}^{1} \sqrt{x-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
I=\int_{0}^{1} \sqrt{x-x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=1.
  • O integrando é \sqrt{x-x^{2}}.
    A tarefa é calcular exatamente o valor numérico de I.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão dentro da raiz completando o quadrado, para entender melhor a forma da função. Começamos com
x-x^{2} = -\left(x^{2}-x\right).
Agora completamos o quadrado em x^{2}-x:
x^{2}-x = \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} - \tfrac{1}{4}.
Substituindo de volta,
x-x^{2} = -\left[\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} - \tfrac{1}{4}\right] = \tfrac{1}{4} - \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}.
Portanto podemos reescrever o integrando como
\sqrt{x-x^{2}} = \sqrt{\tfrac{1}{4} - \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}}.

Passo 3

Interpretação geométrica rápida (ideia útil para prova): a equação
y^{2} + \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}
é a equação de um círculo de raio \tfrac{1}{2} centrado em \left(\tfrac{1}{2},0\right). A função y=\sqrt{\tfrac{1}{4} - (x-\tfrac{1}{2})^{2}} corresponde à metade superior desse círculo (o semicírculo acima do eixo x). Integrar essa função de x=0 até x=1 significa calcular a área sob o semicírculo inteiro, ou seja, a área de um semicírculo de raio r=\tfrac{1}{2}.
A área de um círculo de raio r é \pi r^{2}. A área de um semicírculo é metade disso:
\text{Área do semicírculo} = \tfrac{1}{2}\pi r^{2}.Áí
Tomando r=\tfrac{1}{2} temos
I = \tfrac{1}{2}\pi\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{2}\pi\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{\pi}{8}.
Essa já é a resposta, obtida por interpretação geométrica. Agora mostro um cálculo por substituição trigonométrica (método analítico) para você ver o procedimento passo a passo, útil quando não for tão óbvio geometricamente.

Passo 4

Fazemos a substituição trigonométrica natural para expressões do tipo \sqrt{a^{2}-u^{2}}. Como temos
\sqrt{\tfrac{1}{4}-\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}},
fazemos
x-\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\sin\theta.
Isso implica
x = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\sin\theta = \tfrac{1+\sin\theta}{2}.
Derivando, obtemos
dx = \tfrac{1}{2}\cos\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora trocamos os limites de integração. Quando x=0,
0 = \tfrac{1+\sin\theta}{2} \implies \sin\theta = -1 \implies \theta = -\tfrac{\pi}{2}.
Quando x=1,
1 = \tfrac{1+\sin\theta}{2} \implies \sin\theta = 1 \implies \theta = \tfrac{\pi}{2}.
Substituímos integrando e dx na integral:
\sqrt{\tfrac{1}{4}-\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}} = \sqrt{\tfrac{1}{4}\bigl(1-\sin^{2}\theta\bigr)} = \tfrac{1}{2}\cos\theta,
onde usamos que \cos\theta\ge 0 no intervalo \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Assim
I=\int_{0}^{1}\sqrt{x-x^{2}}\,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\tfrac{1}{2}\cos\theta\right)\left(\tfrac{1}{2}\cos\theta\,d\theta\right)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\tfrac{1}{4}\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 6

Para calcular \int \cos^{2}\theta\,d\theta usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos 2\theta}{2}.
Logo
I = \tfrac{1}{4}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{4}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\tfrac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \tfrac{1}{8}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2\theta)\,d\theta.
Calculamos a integral:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta = \pi,
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2\theta\,d\theta = \left.\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \tfrac{1}{2}\bigl(\sin\pi - \sin(-\pi)\bigr)=0.
Portanto
I = \tfrac{1}{8}\cdot \pi = \tfrac{\pi}{8}.

Passo 7

Resumo e motivação para a prova: sempre que você ver \sqrt{ax - bx^{2}} ou \sqrt{a^{2}-(x-h)^{2}} tente completar o quadrado — pode ser um semicírculo (solução geométrica rápida) ou trate com substituição trigonométrica. A identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos 2\theta}{2} é útil para integrar potências de seno ou cosseno.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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