é a equação de um círculo de raio \tfrac{1}{2} centrado em \left(\tfrac{1}{2},0\right). A função y=\sqrt{\tfrac{1}{4} - (x-\tfrac{1}{2})^{2}} corresponde à metade superior desse círculo (o semicírculo acima do eixo x). Integrar essa função de x=0 até x=1 significa calcular a área sob o semicírculo inteiro, ou seja, a área de um semicírculo de raio r=\tfrac{1}{2}.
A área de um círculo de raio r é \pi r^{2}. A área de um semicírculo é metade disso:
\text{Área do semicírculo} = \tfrac{1}{2}\pi r^{2}.
Tomando r=\tfrac{1}{2} temos
I = \tfrac{1}{2}\pi\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{2}\pi\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{\pi}{8}.
Essa já é a resposta, obtida por interpretação geométrica. Agora mostro um cálculo por substituição trigonométrica (método analítico) para você ver o procedimento passo a passo, útil quando não for tão óbvio geometricamente.
Passo 4
Fazemos a substituição trigonométrica natural para expressões do tipo \sqrt{a^{2}-u^{2}}. Como temos
Resumo e motivação para a prova: sempre que você ver \sqrt{ax - bx^{2}} ou \sqrt{a^{2}-(x-h)^{2}} tente completar o quadrado — pode ser um semicírculo (solução geométrica rápida) ou trate com substituição trigonométrica. A identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos 2\theta}{2} é útil para integrar potências de seno ou cosseno.