3^{\underline{\mathbf{a}}} ) Encontre as funções velocidade e aceleração de uma partícula que se move de acordo com equação \mathbf{x}(\mathrm{t})=3+ 4 \operatorname{sen}(2 \pi t) no instante t=15.
Lembrando: \mathbf{v}(\mathbf{t})=\mathbf{x}^{\prime}(\mathbf{t}) e \mathbf{a}(\mathbf{t})=\mathbf{v}^{\prime}(\mathbf{t})=\mathbf{x}^{\prime \prime}(\mathbf{t}), sendo \mathbf{v}(\mathbf{t}) e a(\mathbf{t}) respectivamente as funções velocidade e aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como \mathbf{x}(t)=3+4\operatorname{sen}(2\pi t) e pede duas coisas: encontrar as funções velocidade e aceleração (ou seja, \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t)) e calcular esses valores no instante t=15. As informações relevantes são:
\mathbf{x}(t)=3+4\operatorname{sen}(2\pi t),\quad\text{queremos }\mathbf{v}(t)=\mathbf{x}'(t),\;\mathbf{a}(t)=\mathbf{x}''(t),\;\text{e os valores em }t=15.

Passo 2

Relembrando regras de derivação que vamos usar (com linguagem simples):
  • A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se C é constante então \dfrac{d}{dt}C=0.
  • A derivada da função seno composta é dada pela regra da cadeia: se temos \sin(u(t)), então
\frac{d}{dt}\sin(u(t))=u'(t)\cos(u(t)).
Aqui u(t) é a função interna e u'(t) é sua derivada. Explico com palavras: primeiro derivamos o seno obtendo um cosseno, e depois multiplicamos pela derivada da parte interna u(t).
  • A derivada do cosseno é \dfrac{d}{dt}\cos(u(t))=-u'(t)\sin(u(t)). Ou seja, aparece o sinal negativo e novamente aplica-se a regra da cadeia.

Passo 3

Agora derivamos \mathbf{x}(t) passo a passo para obter a velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{x}'(t).
Primeiro escrevo \mathbf{x}(t) em notação com função trigonométrica padrão:
\mathbf{x}(t)=3+4\sin(2\pi t).
  • Derivada da constante 3 é 0.
  • Para 4\sin(2\pi t), aplicamos: constante multiplicativa 4 permanece e derivamos \sin(2\pi t). Pela regra da cadeia, a derivada de \sin(2\pi t) é (2\pi)\cos(2\pi t), porque a parte interna é u(t)=2\pi t e u'(t)=2\pi.
    Portanto:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{x}'(t)=4\cdot(2\pi)\cos(2\pi t).
Multiplicando 4 por 2\pi obtemos:
\boxed{\mathbf{v}(t)=8\pi\cos(2\pi t).}

Passo 4

Agora derivamos \mathbf{v}(t) para obter a aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{x}''(t).
Temos \mathbf{v}(t)=8\pi\cos(2\pi t). Aplicando a regra da derivada do cosseno e a cadeia:
  • A constante 8\pi permanece.
  • A derivada de \cos(2\pi t) é - (2\pi)\sin(2\pi t), novamente porque a parte interna é 2\pi t.
    Logo:
\mathbf{a}(t)=8\pi\cdot\big(-2\pi\big)\sin(2\pi t).
Multiplicando os fatores:
\boxed{\mathbf{a}(t)=-16\pi^{2}\sin(2\pi t).}

Passo 5

Agora vamos avaliar \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t) no instante t=15.
Calcule primeiro o argumento trigonométrico:
2\pi t\Big|_{t=15}=2\pi\cdot 15=30\pi.
Usamos identidades trigonométricas básicas: para qualquer inteiro n vale \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n. Aqui n=30 é par, então \cos(30\pi)=1 e \sin(30\pi)=0.
Substituindo em \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t):
\mathbf{v}(15)=8\pi\cos(30\pi)=8\pi\cdot 1=8\pi,
\mathbf{a}(15)=-16\pi^{2}\sin(30\pi)=-16\pi^{2}\cdot 0=0.
Se quiser transformar 8\pi em número aproximado, 8\pi\approx 25{,}1327, mas normalmente em provas manter 8\pi é mais elegante.

Resposta

\mathbf{v}(t)=8\pi\cos(2\pi t)
\mathbf{a}(t)=-16\pi^{2}\sin(2\pi t)
\mathbf{v}(15)=8\pi
\mathbf{a}(15)=0

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