A integral dupla
é dada por:
(a) Desenhe a região de integração
.
(b) Inverta a ordem de integração.
(c) Calcule I para
.
(b) Inverta a ordem de integração.
(c) Calcule I para
Passo 1
O enunciado fornece a integral dupla
As tarefas são:
(a) desenhar a região de integração descrita por esses limites;
(b) inverter a ordem de integração, isto é escrever como integrais com
trocada por
;
(c) calcular para
.
(a) desenhar a região de integração
(b) inverter a ordem de integração, isto é escrever
(c) calcular
Informações explícitas dadas:
-
varia em . - Para cada
fixo, varia de até . - Para (c) a função é
.
Passo 2
Entender as curvas que limitam
.
- A curva
é equivalente a (vemos a relação ao elevar ao quadrado). É a parábola que abre para cima, escrita de forma comum como . Como temos , consideramos a parte com (ramo direito da parábola). - A curva
é equivalente a , ou
que é o círculo de raio
centrado na origem. Como aparece
, trata-se do ramo com
(metade direita do círculo).
- Além disso,
está restrito a .
Interseção das duas curvas (onde
):
elevar ao quadrado dá , ou
elevar ao quadrado dá
Fatorando,
, daí
(a solução
é descartada porque
). Para
obtemos
. Portanto as curvas se encontram em
.
Pontos notáveis do domínio:
- Quando
: vai de até . Então o domínio toca o eixo em a . - Quando
: vai de até (ponto ).
Logoé a região no primeiro quadrante (porque ) limitada pela parábola à esquerda, pelo arco direito do círculo à direita, e pelas linhas horizontais e o ponto superior . Visualmente: uma “fatia” entre a parábola e o círculo, para .
Passo 3
Determinar os limites quando trocamos a ordem de integração (
).
Partimos das desigualdades originais:
Para inverter a ordem, para um
fixo devemos encontrar os valores de
que satisfazem ambas as desigualdades simultaneamente.
Reescrevendo as desigualdades em termos de
:
-
(pois ). -
(lembrando ).
Assim, para um
fixo,
precisa satisfazer simultaneamente
Isto é equivalente a
Agora determinar a variação de
. Observa-se que
pode variar desde o menor valor atingido no domínio (quando
,
) até o maior valor (quando
,
). Assim
varia em
.
Entretanto o valor de
muda de acordo com
. Para saber onde trocar, resolvemos
Elevando ao quadrado:
Com
obtemos
, isto é
, logo
, portanto
e
(tomamos
). Assim a comparação muda em
.
Para
temos
e também
, então
. Para
temos
e
, então
.
Portanto devemos dividir a integral em duas faixas de
:
- Para
: . - Para
: .
Passo 4
Escrever a integral com a ordem invertida, usando a divisão encontrada.
Logo,
Isto responde a parte (b): a integral trocada é a soma dessas duas integrais com os limites indicados.
Passo 5
Preparar o cálculo de
para
usando a forma com a ordem invertida (que facilita os cálculos).
Usaremos a fórmula básica de integração iterada: para função integrável
,
faz-se a integral interna em
primeiro e depois em
. Aqui, para a integral interna,
onde
será
ou
conforme o caso.
Calculemos as duas parcelas separadamente:
com
Passo 6
Calcular
.
Para
,
Então
Passo 7
Calcular
.
Para
,
Logo
Separe em duas integrais:
Calcule a primeira por substituição:
, então
, ou
. Assim
Avaliada de
a
:
Agora a segunda integral:
Calcule
. Assim a expressão é
Somando as duas parcelas de
:
Passo 8
Somar
e
e simplificar para obter
.
Temos
e
. Logo
Pode-se also escrever em uma única fração:
Resposta
(a)
. É a região do primeiro quadrante limitada à esquerda pela parábola
, à direita pelo arco do círculo
(ramo com
), e entre
e
.
(b) Ordem invertida:
(c) Para
,