A integral dupla I=\iint_{D} f(x, y) d A é dada por:
I=\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x, y) d x d y
(a) Desenhe a região de integração D.
(b) Inverta a ordem de integração.
(c) Calcule I para f(x, y)=x+y.

Passo 1

O enunciado fornece a integral dupla
I=\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x,y)\,dx\,dy.
As tarefas são:
(a) desenhar a região de integração D descrita por esses limites;
(b) inverter a ordem de integração, isto é escrever I como integrais com dx\,dy trocada por dy\,dx;
(c) calcular I para f(x,y)=x+y.
Informações explícitas dadas:
  • y varia em [0,1].
  • Para cada y fixo, x varia de x=\sqrt{y} até x=\sqrt{2-y^{2}}.
  • Para (c) a função é f(x,y)=x+y.

Passo 2

Entender as curvas que limitam D.
  • A curva x=\sqrt{y} é equivalente a y=x^{2} (vemos a relação ao elevar ao quadrado). É a parábola que abre para cima, escrita de forma comum como y=x^{2}. Como temos \sqrt{y}, consideramos a parte com x\ge0 (ramo direito da parábola).
  • A curva x=\sqrt{2-y^{2}} é equivalente a x^{2}=2-y^{2}, ou
x^{2}+y^{2}=2,
que é o círculo de raio \sqrt{2} centrado na origem. Como aparece \sqrt{\,\cdot\,}, trata-se do ramo com x\ge0 (metade direita do círculo).
  • Além disso, y está restrito a 0\le y\le1.
Interseção das duas curvas (onde \sqrt{y}=\sqrt{2-y^{2}} ):
elevar ao quadrado dá y=2-y^{2}, ou
y^{2}+y-2=0.
Fatorando, (y+2)(y-1)=0, daí y=1 (a solução y=-2 é descartada porque y\ge0). Para y=1 obtemos x=\sqrt{1}=1. Portanto as curvas se encontram em (1,1).
Pontos notáveis do domínio:
  • Quando y=0: x vai de \sqrt{0}=0 até \sqrt{2-0}= \sqrt{2}. Então o domínio toca o eixo x em x=0 a x=\sqrt{2}.
  • Quando y=1: x vai de 1 até 1 (ponto (1,1)).
    Logo D é a região no primeiro quadrante (porque x\ge0,y\ge0) limitada pela parábola y=x^{2} à esquerda, pelo arco direito do círculo x^{2}+y^{2}=2 à direita, e pelas linhas horizontais y=0 e o ponto superior y=1. Visualmente: uma “fatia” entre a parábola e o círculo, para 0\le y\le1.

Passo 3

Determinar os limites quando trocamos a ordem de integração ( dy\,dx).
Partimos das desigualdades originais:
0\le y\le1,\qquad \sqrt{y}\le x\le \sqrt{2-y^{2}}.
Para inverter a ordem, para um x fixo devemos encontrar os valores de y que satisfazem ambas as desigualdades simultaneamente.
Reescrevendo as desigualdades em termos de y:
  • \sqrt{y}\le x \iff y\le x^{2} (pois x\ge0).
  • x\le \sqrt{2-y^{2}} \iff x^{2}\le 2-y^{2} \iff y^{2}\le 2-x^{2} \iff 0\le y\le \sqrt{2-x^{2}} (lembrando y\ge0).
Assim, para um x fixo, y precisa satisfazer simultaneamente
0\le y\le 1,\qquad y\le x^{2},\qquad y\le \sqrt{2-x^{2}}.
Isto é equivalente a
0\le y\le \min\bigl(1,\;x^{2},\;\sqrt{2-x^{2}}\bigr).
Agora determinar a variação de x. Observa-se que x pode variar desde o menor valor atingido no domínio (quando y=0, x=\sqrt{y}=0) até o maior valor (quando y=0, x=\sqrt{2}). Assim x varia em [0,\sqrt{2}].
Entretanto o valor de \min(x^{2},\sqrt{2-x^{2}}) muda de acordo com x. Para saber onde trocar, resolvemos
x^{2}=\sqrt{2-x^{2}}.
Elevando ao quadrado:
x^{4}=2-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{4}+x^{2}-2=0.
Com t=x^{2} obtemos t^{2}+t-2=0, isto é (t+2)(t-1)=0, logo t=1, portanto x^{2}=1 e x=1 (tomamos x\ge0). Assim a comparação muda em x=1.
Para 0\le x\le1 temos x^{2}\le\sqrt{2-x^{2}} e também x^{2}\le1, então \min(\cdots)=x^{2}. Para 1\le x\le\sqrt{2} temos \sqrt{2-x^{2}}\le x^{2} e \sqrt{2-x^{2}}\le1, então \min(\cdots)=\sqrt{2-x^{2}}.
Portanto devemos dividir a integral em duas faixas de x:
  • Para 0\le x\le1: 0\le y\le x^{2}.
  • Para 1\le x\le\sqrt{2}: 0\le y\le \sqrt{2-x^{2}}.

Passo 4

Escrever a integral com a ordem invertida, usando a divisão encontrada.
Logo,
I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx \;+\; \int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x,y)\,dy\,dx.
Isto responde a parte (b): a integral trocada é a soma dessas duas integrais com os limites indicados.

Passo 5

Preparar o cálculo de I para f(x,y)=x+y usando a forma com a ordem invertida (que facilita os cálculos).
Usaremos a fórmula básica de integração iterada: para função integrável g(x,y),
\int_{a}^{b}\int_{c(x)}^{d(x)} g(x,y)\,dy\,dx
faz-se a integral interna em y primeiro e depois em x. Aqui, para a integral interna,
\int_{0}^{a} (x+y)\,dy = \int_{0}^{a} x\,dy + \int_{0}^{a} y\,dy = x a + \tfrac{1}{2}a^{2},
onde a será x^{2} ou \sqrt{2-x^{2}} conforme o caso.
Calculemos as duas parcelas separadamente:
I = I_{1}+I_{2},
com
I_{1}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}} (x+y)\,dy\,dx,\qquad I_{2}=\int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} (x+y)\,dy\,dx.

Passo 6

Calcular I_{1}.
Para I_{1},
\int_{0}^{x^{2}} (x+y)\,dy = x\cdot x^{2} + \tfrac{1}{2}(x^{2})^{2} = x^{3} + \tfrac{1}{2}x^{4}.
Então
I_{1}=\int_{0}^{1} \left(x^{3} + \tfrac{1}{2}x^{4}\right) dx = \left[\tfrac{1}{4}x^{4} + \tfrac{1}{10}x^{5}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{10} = \tfrac{7}{20}.

Passo 7

Calcular I_{2}.
Para I_{2},
\int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} (x+y)\,dy = x\sqrt{2-x^{2}} + \tfrac{1}{2}\bigl(2-x^{2}\bigr).
Logo
I_{2}=\int_{1}^{\sqrt{2}} \left( x\sqrt{2-x^{2}} + \tfrac{1}{2}(2-x^{2}) \right) dx.
Separe em duas integrais:
I_{2}= \int_{1}^{\sqrt{2}} x\sqrt{2-x^{2}}\,dx \;+\; \int_{1}^{\sqrt{2}} \left(1-\tfrac{1}{2}x^{2}\right) dx.
Calcule a primeira por substituição: u=2-x^{2}, então du=-2x\,dx, ou x\,dx = -\tfrac{1}{2}du. Assim
\int x\sqrt{2-x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = -\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{3}u^{3/2} = -\tfrac{1}{3} (2-x^{2})^{3/2}.
Avaliada de x=1 a x=\sqrt{2}:
\int_{1}^{\sqrt{2}} x\sqrt{2-x^{2}}\,dx = \Big[-\tfrac{1}{3}(2-x^{2})^{3/2}\Big]_{1}^{\sqrt{2}} = \bigl(0\bigr) - \bigl(-\tfrac{1}{3}\cdot 1^{3/2}\bigr) = \tfrac{1}{3}.
Agora a segunda integral:
\int_{1}^{\sqrt{2}} \left(1-\tfrac{1}{2}x^{2}\right) dx = \Big[x - \tfrac{1}{6}x^{3}\Big]_{1}^{\sqrt{2}} = \Big(\sqrt{2} - \tfrac{1}{6}(\sqrt{2})^{3}\Big) - \Big(1 - \tfrac{1}{6}\Big).
Calcule (\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}. Assim a expressão é
\sqrt{2} - \tfrac{1}{6}\cdot 2\sqrt{2} - \left(\tfrac{5}{6}\right) = \sqrt{2}\Big(1-\tfrac{1}{3}\Big) - \tfrac{5}{6} = \tfrac{2}{3}\sqrt{2} - \tfrac{5}{6}.
Somando as duas parcelas de I_{2}:
I_{2} = \tfrac{1}{3} + \left(\tfrac{2}{3}\sqrt{2} - \tfrac{5}{6}\right) = \tfrac{2}{3}\sqrt{2} + \left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{5}{6}\right) = \tfrac{2}{3}\sqrt{2} - \tfrac{1}{2}.

Passo 8

Somar I_{1} e I_{2} e simplificar para obter I.
Temos I_{1}=\tfrac{7}{20} e I_{2}=\tfrac{2}{3}\sqrt{2}-\tfrac{1}{2}. Logo
I = I_{1}+I_{2} = \tfrac{7}{20} + \left(\tfrac{2}{3}\sqrt{2}-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{2}{3}\sqrt{2} + \left(\tfrac{7}{20}-\tfrac{10}{20}\right) = \tfrac{2}{3}\sqrt{2} - \tfrac{3}{20}.
Pode-se also escrever em uma única fração:
I = \dfrac{40\sqrt{2}-9}{60}.

Resposta

(a) D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\\ \sqrt{y}\le x\le\sqrt{2-y^{2}}\}. É a região do primeiro quadrante limitada à esquerda pela parábola y=x^{2}, à direita pelo arco do círculo x^{2}+y^{2}=2 (ramo com x\ge0), e entre y=0 e y=1.
(b) Ordem invertida:
I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx \;+\; \int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x,y)\,dy\,dx.
(c) Para f(x,y)=x+y,
I=\tfrac{2}{3}\sqrt{2}-\tfrac{3}{20}=\dfrac{40\sqrt{2}-9}{60}.

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