A integral dupla
é obtida da seguinte forma:
(a) Desenhe a região de integração.
(b) Inverta a ordem de integração.
(c) Calcule I para
.
(b) Inverta a ordem de integração.
(c) Calcule I para
Passo 1
O enunciado fornece a integral iterada
e pede três coisas:
(a) desenhar a região de integração ;
(b) inverter a ordem de integração, escrevendo como
;
(c) calcular para
.
(a) desenhar a região de integração
(b) inverter a ordem de integração, escrevendo
(c) calcular
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- O intervalo de
é . - Para cada
desse intervalo, varia entre e .
Passo 2
Descrevendo a região
e como desenhá-la (passo a passo):
- A curva superior é a parábola
- Encontrar as interseções com o eixo
(raízes da parábola): resolvendo é equivalente a
que fatoriza como
. Logo as raízes são
e
. Isso mostra que a parábola corta o eixo
exatamente nos limites do
dados.
3. Encontrar o vértice da parábola: a derivada é . Zera em
. O valor em
é
3. Encontrar o vértice da parábola: a derivada é
- Portanto a parábola abre para baixo, tem zeros em
e e máximo em . - A região
é o conjunto de pontos tais que
Para desenhar: trace o eixo
, marque
e
; desenhe a parábola
que passa por
,
e tem vértice
; a região é a “lâmina” sob a parábola e acima de
, entre
e
. Sombreie essa área.
Passo 3
Procedimento para inverter a ordem de integração (explicação conceitual):
- Para inverter, fixamos um valor de
e encontramos quais satisfazem . - Igualando
e resolvendo para obtemos as curvas limites em termos de . Assim achamos os limites inferiores e superiores de como funções de .
Cálculo das raízes da equação em:
As raízes são dadas pela fórmula quadrática:
Para que as raízes sejam reais é necessário
, ou seja
. Também, pela definição da região,
. Logo
varia em
Para um
fixo nesse intervalo,
varia entre
Portanto a ordem invertida da integral é
Passo 4
Agora vamos calcular
para
. Vou usar a integral na ordem original (integrar primeiro em
), porque isso fica particularmente simples:
Dentro da integral interna,
é constante em relação a
, então
A primitiva de
em
é
. Assim
Passo 5
Usar substituição para a integral em
(motivo: percebe-se que
é exatamente
se
, então fazer
simplifica muito).
Defina
Defina
Então
Portanto
Mudando os limites: quando
,
Quando
,
Assim a integral em
torna-se
Uma integral com limites iguais é zero, logo
Passo 6
Intuição final (para fixar a ideia): o fator
é a derivada da função que aparece no limite superior do
; ao integrar em
aparece
dessa função e ao integrar em
a substituição transforma a integral numa integral de
entre dois valores de
que, neste caso, coincidem (ambos são
), resultando em zero. Esse tipo de simplificação é comum e útil em provas quando o integrando contém exatamente a derivada do limite de integração.
Resposta
(a) A região
é o conjunto
. É a região sob a parábola
, entre
e
, acima de
; a parábola tem vértice em
.
(b)
(c)
(b)
(c)