A integral dupla I=\iint_{D} f(x, y) d A é obtida da seguinte forma:
\int_{-1}^{2} \int_{0}^{-x^{2}+x+2} f(x, y) d y d x
(a) Desenhe a região de integração.
(b) Inverta a ordem de integração.
(c) Calcule I para f(x, y)=(-2 x+1) \cos y.

Passo 1

O enunciado fornece a integral iterada
\int_{-1}^{2}\int_{0}^{-x^{2}+x+2} f(x,y)\,dy\,dx,
e pede três coisas:
(a) desenhar a região de integração D;
(b) inverter a ordem de integração, escrevendo I como \displaystyle\int_{y=\_}^{\_}\int_{x=\_}^{\_} f(x,y)\,dx\,dy;
(c) calcular I para f(x,y)=(-2x+1)\cos y.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • O intervalo de x é -1\le x\le 2.
  • Para cada x desse intervalo, y varia entre 0 e y=-x^{2}+x+2.

Passo 2

Descrevendo a região D e como desenhá-la (passo a passo):
  1. A curva superior é a parábola
y=-x^{2}+x+2.
  1. Encontrar as interseções com o eixo x (raízes da parábola): resolvendo -x^{2}+x+2=0 é equivalente a
x^{2}-x-2=0,
que fatoriza como (x-2)(x+1)=0. Logo as raízes são x=-1 e x=2. Isso mostra que a parábola corta o eixo x exatamente nos limites do x dados.
3. Encontrar o vértice da parábola: a derivada é \dfrac{d}{dx}(-x^{2}+x+2)=-2x+1. Zera em x=\dfrac{1}{2}. O valor em x=\dfrac{1}{2} é
y\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{1}{2}+2 = -\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}+2 = \tfrac{9}{4}.
  1. Portanto a parábola abre para baixo, tem zeros em x=-1 e x=2 e máximo y_{\max}=\tfrac{9}{4} em x=\tfrac{1}{2}.
  2. A região D é o conjunto de pontos (x,y) tais que
-1\le x\le 2,\qquad 0\le y\le -x^{2}+x+2.
Para desenhar: trace o eixo x, marque x=-1 e x=2; desenhe a parábola y=-x^{2}+x+2 que passa por (-1,0), (2,0) e tem vértice (\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{4}); a região é a “lâmina” sob a parábola e acima de y=0, entre x=-1 e x=2. Sombreie essa área.

Passo 3

Procedimento para inverter a ordem de integração (explicação conceitual):
  • Para inverter, fixamos um valor de y e encontramos quais x satisfazem 0\le y\le -x^{2}+x+2.
  • Igualando y=-x^{2}+x+2 e resolvendo para x obtemos as curvas limites em termos de y. Assim achamos os limites inferiores e superiores de x como funções de y.
    Cálculo das raízes da equação em x:
-x^{2}+x+2 = y
\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x+(y-2)=0.
As raízes são dadas pela fórmula quadrática:
x=\frac{1\pm\sqrt{1-4(y-2)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{9-4y}}{2}.
Para que as raízes sejam reais é necessário 9-4y\ge 0, ou seja y\le \tfrac{9}{4}. Também, pela definição da região, y\ge 0. Logo y varia em
0\le y\le \tfrac{9}{4}.
Para um y fixo nesse intervalo, x varia entre
x_{\min}=\frac{1-\sqrt{9-4y}}{2}\quad\text{e}\quad x_{\max}=\frac{1+\sqrt{9-4y}}{2}.
Portanto a ordem invertida da integral é
\int_{0}^{\tfrac{9}{4}}\int_{\frac{1-\sqrt{9-4y}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{9-4y}}{2}} f(x,y)\,dx\,dy.

Passo 4

Agora vamos calcular I para f(x,y)=(-2x+1)\cos y. Vou usar a integral na ordem original (integrar primeiro em y), porque isso fica particularmente simples:
I=\int_{-1}^{2}\left(\int_{0}^{-x^{2}+x+2} (-2x+1)\cos y\,dy\right)dx.
Dentro da integral interna, (-2x+1) é constante em relação a y, então
\int_{0}^{-x^{2}+x+2} (-2x+1)\cos y\,dy = (-2x+1)\int_{0}^{-x^{2}+x+2}\cos y\,dy.
A primitiva de \cos y em y é \sin y. Assim
(-2x+1)\int_{0}^{-x^{2}+x+2}\cos y\,dy = (-2x+1)\bigl[\sin y\bigr]_{0}^{-x^{2}+x+2} = (-2x+1)\sin\bigl(-x^{2}+x+2\bigr).

Passo 5

Usar substituição para a integral em x (motivo: percebe-se que -2x+1 é exatamente u'(x) se u(x)=-x^{2}+x+2, então fazer u=-x^{2}+x+2 simplifica muito).
Defina
u(x)=-x^{2}+x+2.
Então
\frac{du}{dx}=-2x+1.
Portanto
(-2x+1)\sin\bigl(-x^{2}+x+2\bigr)\,dx = \sin(u)\,du.
Mudando os limites: quando x=-1,
u(-1) = -(-1)^{2}+(-1)+2 = -1-1+2 = 0.
Quando x=2,
u(2) = -4+2+2 = 0.
Assim a integral em x torna-se
I=\int_{x=-1}^{2}(-2x+1)\sin\bigl(-x^{2}+x+2\bigr)\,dx = \int_{u=0}^{0}\sin u\,du.
Uma integral com limites iguais é zero, logo
I=0.

Passo 6

Intuição final (para fixar a ideia): o fator (-2x+1) é a derivada da função que aparece no limite superior do y; ao integrar em y aparece \sin dessa função e ao integrar em x a substituição transforma a integral numa integral de \sin u entre dois valores de u que, neste caso, coincidem (ambos são 0), resultando em zero. Esse tipo de simplificação é comum e útil em provas quando o integrando contém exatamente a derivada do limite de integração.

Resposta

(a) A região D é o conjunto \{(x,y)\mid -1\le x\le 2,\\\ 0\le y\le -x^{2}+x+2\}. É a região sob a parábola y=-x^{2}+x+2, entre x=-1 e x=2, acima de y=0; a parábola tem vértice em (\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{4}).
(b) \displaystyle \iint_{D} f(x,y)\,dA=\int_{0}^{\tfrac{9}{4}}\int_{\frac{1-\sqrt{9-4y}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{9-4y}}{2}} f(x,y)\,dx\,dy.
(c) I=0.

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