Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
f(x, y)=1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=1 e pede duas coisas:
  • Desenhar as curvas de nível (para o valor indicado).
  • Esboçar o gráfico (superfície) de f.
Informações relevantes dadas:
  • A função é igual a 1 para todo par (x,y) (não há dependência de x ou y).
  • A pergunta exige distinguir a curva de nível correspondente a f(x,y)=1 e o esboço tridimensional da superfície z=f(x,y).

Passo 2

Definição útil (conceito): curva de nível.
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y), a curva de nível associada a um valor c é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}.
Isso é o lugar geométrico no plano xy onde a altura da função vale c.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso dado:
  • Aqui c=1 e f(x,y)=1 para todo (x,y).
  • Logo a curva de nível para c=1 é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1=1\}=\mathbb{R}^2.
Explicação em palavras: não existe uma “linha” isolada — todo ponto do plano xy pertence à curva de nível porque a função vale 1 em qualquer lugar.

Passo 4

Como representar graficamente a curva de nível no plano xy:
  • Num diagrama de contorno (mapa de cores), toda a região do plano xy teria a mesma cor (a cor associada ao valor 1).
  • Num desenho com curvas isolinhas, não há isolinha fechada separando regiões: a “curva” é o próprio plano inteiro (praticamente, pinta-se tudo da mesma cor).

Passo 5

Definição útil (conceito): gráfico ou superfície de f.
  • O gráfico de f é o conjunto de pontos em \mathbb{R}^3
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=f(x,y)\}.

Passo 6

Aplicando ao caso f(x,y)=1:
  • Substituindo vem
z=1.
  • Isso descreve um plano horizontal em \mathbb{R}^3, paralelo ao plano xy, localizado à altura 1 na direção z.

Passo 7

Como esboçar à mão o gráfico (passo a passo prático):
  1. Desenhar três eixos: eixo x (para a direita), eixo y (para dentro/fora do papel — geralmente desenha-se uma linha oblíqua) e eixo z (vertical).
  2. Marcar a altura z=1 no eixo z.
  3. Desenhar um plano (um retângulo ou paralelogramo) paralelo ao plano xy passando por z=1. Esse retângulo representa todo o plano z=1.
  4. Opcional: desenhar algumas linhas guias (interseções com planos x= constante ou y= constante) que aparecem como linhas horizontais no retângulo, para dar ideia de plano infinito.

Passo 8

Propriedades e interpretações úteis (para a prova):
  • Gradiente: \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y)=(0,0). Isso mostra que a função é constante e não tem variação em nenhuma direção.
  • Não há máximos ou mínimos locais distintos — a função é igualmente 1 em todo lugar (todo ponto é crítico no sentido de derivadas, mas não é um extremo isolado).
  • Comparação rápida com exemplos: para f(x,y)=2 o gráfico seria o plano z=2; para f(x,y)=x o gráfico seria um plano inclinado, não horizontal.

Resposta

Curva de nível para f(x,y)=1: \mathbb{R}^2 (ou seja, todo o plano xy).
Gráfico (superfície) de f: o plano horizontal z=1.

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