Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Desenhar as curvas de nível (para o valor indicado).
- Esboçar o gráfico (superfície) de
.
Informações relevantes dadas:
- A função é igual a
para todo par (não há dependência de ou ). - A pergunta exige distinguir a curva de nível correspondente a
e o esboço tridimensional da superfície .
Passo 2
Definição útil (conceito): curva de nível.
- Para uma função de duas variáveis
, a curva de nível associada a um valor é o conjunto
Isso é o lugar geométrico no plano
onde a altura da função vale
.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso dado:
- Aqui
e para todo . - Logo a curva de nível para
é
Explicação em palavras: não existe uma “linha” isolada — todo ponto do plano
pertence à curva de nível porque a função vale
em qualquer lugar.
Passo 4
Como representar graficamente a curva de nível no plano
:
- Num diagrama de contorno (mapa de cores), toda a região do plano
teria a mesma cor (a cor associada ao valor ). - Num desenho com curvas isolinhas, não há isolinha fechada separando regiões: a “curva” é o próprio plano inteiro (praticamente, pinta-se tudo da mesma cor).
Passo 5
Definição útil (conceito): gráfico ou superfície de
.
- O gráfico de
é o conjunto de pontos em
Passo 6
Aplicando ao caso
:
- Substituindo vem
- Isso descreve um plano horizontal em
, paralelo ao plano , localizado à altura na direção .
Passo 7
Como esboçar à mão o gráfico (passo a passo prático):
- Desenhar três eixos: eixo
(para a direita), eixo (para dentro/fora do papel — geralmente desenha-se uma linha oblíqua) e eixo (vertical). - Marcar a altura
no eixo . - Desenhar um plano (um retângulo ou paralelogramo) paralelo ao plano
passando por . Esse retângulo representa todo o plano . - Opcional: desenhar algumas linhas guias (interseções com planos
constante ou constante) que aparecem como linhas horizontais no retângulo, para dar ideia de plano infinito.
Passo 8
Propriedades e interpretações úteis (para a prova):
- Gradiente:
. Isso mostra que a função é constante e não tem variação em nenhuma direção. - Não há máximos ou mínimos locais distintos — a função é igualmente
em todo lugar (todo ponto é crítico no sentido de derivadas, mas não é um extremo isolado). - Comparação rápida com exemplos: para
o gráfico seria o plano ; para o gráfico seria um plano inclinado, não horizontal.
Resposta
Curva de nível para
:
(ou seja, todo o plano
).
Gráfico (superfície) de : o plano horizontal
.
Gráfico (superfície) de