(Seção 1.2 - exercício 8) Use o fato de que x(t)=c_{1} \cos (t)+c_{2} \sin (t) é uma família a dois parâmetros de soluções de x^{\prime \prime}+x=0. Encontre uma solução para o PVI de segunda ordem consistindo nessa equação diferencial e nas condições iniciais:
x(\pi / 2)=0 e x^{\prime}(\pi / 2)=1.
Escolha uma opção:
◯ a. x(t)=-\cos (t)+\sin (t).
◯ b. x(t)=-\sin (t).
◯ c. x(t)=-\cos (t)-\sin (t).
◯ d. x(t)=-\cos (t).
◯ e. x(t)=\cos (t)+\sin (t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais. Informações e pedidos (peguei a forma geral da família de soluções do enunciado):
  • Equação diferencial: x''+x=0.
  • Família geral (do enunciado): x(t)=c_{1}\cos(t)+c_{2}\sin(t), onde c_{1} e c_{2} são constantes reais a determinar.
  • Condições iniciais (no mesmo instante t=\pi/2):
    • x(\pi/2)=0.
    • x'(\pi/2)=1.
O que se pede: encontrar a solução particular que satisfaz a equação e as duas condições iniciais (ou seja, determinar c_{1} e c_{2} e escrever a função x(t) correspondente).

Passo 2

Vamos usar a família dada e lembrar o que cada termo significa. Na expressão x(t)=c_{1}\cos(t)+c_{2}\sin(t):
  • t é a variável independente (tempo).
  • c_{1} e c_{2} são constantes que fixam uma solução específica dessa família.
    Para encontrar a solução do PVI precisamos calcular x'(t) (derivada de x) e aplicar as condições iniciais para obter um sistema linear em c_{1} e c_{2}.

Passo 3

Calcular x'(t). Relembrando as derivadas básicas das funções trigonométricas:
  • A derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t).
  • A derivada de \sin(t) em relação a t é \cos(t).
    Aplicando isso em x(t)=c_{1}\cos(t)+c_{2}\sin(t) (as constantes saem da derivada), obtemos:
x'(t) = -c_{1}\sin(t) + c_{2}\cos(t).

Passo 4

Aplicar as condições iniciais em t=\pi/2.
Primeira condição: x(\pi/2)=0. Substituindo t=\pi/2 em x(t),
x(\pi/2)=c_{1}\cos(\pi/2)+c_{2}\sin(\pi/2)=0.
Usamos os valores trigonométricos conhecidos: \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1. Assim a equação fica
c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_{2}=0.
Segunda condição: x'(\pi/2)=1. Substituindo t=\pi/2 em x'(t),
x'(\pi/2) = -c_{1}\sin(\pi/2) + c_{2}\cos(\pi/2) = 1.
Novamente \sin(\pi/2)=1 e \cos(\pi/2)=0, portanto
- c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 0 = 1 \quad\Rightarrow\quad -c_{1}=1.

Passo 5

Resolver o sistema obtido das duas condições:
  • Da primeira: c_{2}=0.
  • Da segunda: -c_{1}=1 logo c_{1}=-1.
Substituindo c_{1} e c_{2} na família geral,
x(t)=c_{1}\cos(t)+c_{2}\sin(t) = (-1)\cos(t) + 0\cdot\sin(t) = -\cos(t).
Podemos fazer uma checagem rápida: calcular x' (t)= -(-1)\sin(t)+0\cos(t)=\sin(t). Avaliando em t=\pi/2 x'(\pi/2)=\sin(\pi/2)=1, e x(\pi/2)=-\cos(\pi/2)=0. Ambas as condições são satisfeitas, e x(t)=-\cos(t) é solução da equação x''+x=0.

Resposta

d. x(t)=-\cos(t)

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