(Seção 1.2 - exercício 8) Use o fato de que
é uma família a dois parâmetros de soluções de
. Encontre uma solução para o PVI de segunda ordem consistindo nessa equação diferencial e nas condições iniciais:
e
.
Escolha uma opção:
◯ a.
.
◯ b.
.
◯ c.
.
◯ d.
.
◯ e.
.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais. Informações e pedidos (peguei a forma geral da família de soluções do enunciado):
- Equação diferencial:
. - Família geral (do enunciado):
, onde e são constantes reais a determinar. - Condições iniciais (no mesmo instante
): -
. -
.
-
O que se pede: encontrar a solução particular que satisfaz a equação e as duas condições iniciais (ou seja, determinar
e
e escrever a função
correspondente).
Passo 2
Vamos usar a família dada e lembrar o que cada termo significa. Na expressão
:
-
é a variável independente (tempo). -
e são constantes que fixam uma solução específica dessa família.
Para encontrar a solução do PVI precisamos calcular(derivada de ) e aplicar as condições iniciais para obter um sistema linear em e .
Passo 3
Calcular
. Relembrando as derivadas básicas das funções trigonométricas:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Aplicando isso em(as constantes saem da derivada), obtemos:
Passo 4
Aplicar as condições iniciais em
.
Primeira condição:
. Substituindo
em
,
Usamos os valores trigonométricos conhecidos:
e
. Assim a equação fica
Segunda condição:
. Substituindo
em
,
Novamente
e
, portanto
Passo 5
Resolver o sistema obtido das duas condições:
- Da primeira:
. - Da segunda:
logo .
Substituindo
e
na família geral,
Podemos fazer uma checagem rápida: calcular
. Avaliando em
dá
, e
. Ambas as condições são satisfeitas, e
é solução da equação
.
Resposta
d.