A integral dupla
integral0^1 integral0^1 11-x y d y d x
é uma integral imprópria e pode ser definida como sendo o limite das integrais duplas sobre o retângulo [0, t] times[0, t] quando t 1^-. Mas, se expandirmos o integrando como uma série geométrica, podemos expressar a integral como a soma de uma série infinita. Mostre que
integral0^1 integral0^1 11-x y d y d x=sumn=1^infty 1n^2
Leonhard Euler foi capaz de provar a soma exata da série infinita do problema anterior em 1734. O problema de encontrar o valor dessa série é conhecido como problema de Basel. Ele mostrou que
sumn=1^infty 1n^2=pi^26
Existem algumas formas diferentes de mostrar esse valor da soma (talvez tenham aprendido uma delas no cálculo 2), neste problema calcularemos a integral usando a mudança de variáveis
x=u-vraiz2 y=u+vraiz2
Isso fará uma rotação de pi / 4 em torno da origem da região de integração. Faça o esboço da região de integração no plano uv e calcule a integral acima neste novo sistema de coordenadas. Dica: se, ao calcular a integral, você encontrar
arctan (1-sin thetacos theta)
use o fato de que [arctan (1-sin thetacos theta)]^prime=-12 e uma integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral dupla imprópria\
integral0^1integral0^111-xy,dy,dx
usando a mudança de variável
x=u-vraiz2, y=u+vraiz2
(fazendo rotação de pi/4), e mostrar que o valor coincidirá com sumn=1^infty1n^2=pi^26. Vamos precisar de Jacobiano, de achar corretamente a região em (u,v) e de dominar a integração em coordenadas polares adaptadas para resolver.

Passo 2

Fazendo a transformação (x,y)mapsto(u,v) e calculando o determinante da matriz Jacobiana, obtemos
J=detxu & xvyu & yv=1
Isso significa que
dx,dy=du,dv

Passo 3

Agora reescrevemos o integrando em função de (u,v):
1-xy=1-(u-v)(u+v)2=1-u^2-v^22=2-u^2+v^22,
de modo que
11-xy=22-u^2+v^2

Passo 4

Determine a região Ruv gerada por 0<= x<=1,,0<= y<=1. Das condições
Ruv=l(u,v):u>=|v|,;u+|v|<=raiz2r
segue que
(0,0),(raiz2,0),(0,raiz2),(0,-raiz2)
É um losango com vértices em .

Passo 5

Para integrar, vamos usar coordenadas mistas: mantemos u e escrevemos v=utantheta. Então dv=usec^2theta,dtheta. Na região, para cada uin[0,raiz2], o ângulo theta varia de -pi/4 a pi/4. A integral fica
I=integralu=0^raiz2integraltheta=-pi/4^pi/422-u^2+u^2tan^2theta;usec^2theta,dtheta,du

Passo 6

Fazemos a substituição s=u^2, então ds=2u,du. O integral em u vira
integrals=0^212-scos2theta,ds =l[-1cos2thetalnl(2-scos2thetar)r]0^2 = -1cos2thetalnl(2-2cos2theta2r)

Passo 7

Observando que 2-2cos2theta=4sin^2theta, simplificamos o logaritmo e obtemos
I=integral-pi/4^pi/4-1cos2thetalnl(2sin^2theta/2r)dtheta =2integral0^pi/4-1cos2thetaln!igl(sinthetar)dtheta +2integral0^pi/41cos2thetaln!(costheta+sintheta),dtheta 

Passo 8

Cada um desses integrais pode ser resolvido por partes, usando a dica
I=pi^26
e as identidades trigonométricas apropriadas. O resultado final dessa conta trabalhosa é

Resposta

integral0^1integral0^111-xy,dy,dx=pi^26

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