A integral dupla
é uma integral imprópria e pode ser definida como sendo o limite das integrais duplas sobre o retângulo
quando
. Mas, se expandirmos o integrando como uma série geométrica, podemos expressar a integral como a soma de uma série infinita. Mostre que
Leonhard Euler foi capaz de provar a soma exata da série infinita do problema anterior em 1734. O problema de encontrar o valor dessa série é conhecido como problema de Basel. Ele mostrou que
Existem algumas formas diferentes de mostrar esse valor da soma (talvez tenham aprendido uma delas no cálculo 2), neste problema calcularemos a integral usando a mudança de variáveis
Isso fará uma rotação de
torno da origem da região de integração. Faça o esboço da região de integração no plano uv e calcule a integral acima neste novo sistema de coordenadas. Dica: se, ao calcular a integral, você encontrar
use o fato de que
e uma integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral dupla imprópria\
usando a mudança de variável
(fazendo rotação de
), e mostrar que o valor coincidirá com
. Vamos precisar de Jacobiano, de achar corretamente a região em
e de dominar a integração em coordenadas polares adaptadas para resolver.
Passo 2
Fazendo a transformação
e calculando o determinante da matriz Jacobiana, obtemos
Isso significa que
Passo 3
Agora reescrevemos o integrando em função de
:
de modo que
Passo 4
Determine a região
gerada por
. Das condições
segue que
segue que
É um losango com vértices em
.
Passo 5
Para integrar, vamos usar coordenadas mistas: mantemos
e escrevemos
. Então
. Na região, para cada
, o ângulo
varia de
a
. A integral fica
Passo 6
Fazemos a substituição
, então
. O integral em
vira
Passo 7
Observando que
, simplificamos o logaritmo e obtemos
Passo 8
Cada um desses integrais pode ser resolvido por partes, usando a dica
e as identidades trigonométricas apropriadas. O resultado final dessa conta trabalhosa é
e as identidades trigonométricas apropriadas. O resultado final dessa conta trabalhosa é