Seja I o momento de inércia de um corpo de massa M com relação a um eixo arbitrário. Mostre que o momento de inércia com relação a um eixo paralelo a este é
I^prime=I+2 d cdot dc m+M d^2
onde d é o vetor de separação entre os dois eixos e dc m fornece a separação entre o centro de massa e o primeiro eixo de rotação. No caso especial em que dc m=0 (o primeiro eixo de rotação passa pelo centro de massa), este resultado é conhecido como Teorema dos Eixos Paralelos.

Passo 1

O enunciado pede para provar uma relação de momento de inércia entre dois eixos paralelos, usando como ferramenta básica a definição de momento de inércia e a noção de centro de massa. O conteúdo da matéria é o Teorema dos Eixos Paralelos generalizado para um eixo arbitrário que não passa pelo centro de massa. Vamos precisar da definição de momento de inércia como soma de ,“massas vezes distância ao quadrado” e da definição de centro de massa.

Passo 2

Definimos um sistema de partículas de massa mi cada, cuja distância perpendicular ao primeiro eixo (origem) é o vetor ri. Então o momento de inércia em relação a esse eixo é
I = sumi mi ,| ri|^2

Passo 3

Agora consideramos um segundo eixo paralelo ao primeiro, deslocado por um vetor d. Para cada partícula, a distância ao novo eixo é o vetor
r'i = ri + d
Isso porque todo ponto ganha o mesmo deslocamento d em relação ao eixo original.

Passo 4

Expandimos o quadrado da norma do vetor deslocado:
| r'i|^2 = ( ri + d)cdot( ri + d) = | ri|^2 + 2, ricdot d + | d|^2
Multiplicando por mi e somando em i, obtemos
I' = sumi mi| r'i|^2 = sumi mi| ri|^2 + 2, dcdotsumi mi ri + sumi mi| d|^2

Passo 5

Reconhecendo os termos: o primeiro somatório é justamente I. O segundo tem sumi mi ri = M, rcm, onde rcm é o vetor posição do centro de massa em relação ao primeiro eixo. Chamamos esse vetor de separação de dcm. O terceiro somatório é M,| d|^2. Assim:
I' = I + 2, dcdot(M dcm) + M,d^2 = I + 2, dcdot dcm + M d^2

Passo 6

No caso especial em que o primeiro eixo passa pelo centro de massa, temos dcm=0, e a fórmula reduz-se a
I' = I + M d^2,
que é o Teorema dos Eixos Paralelos clássico.

Resposta

I’=I+2\mathbf d\cdot\mathbf d_{cm}+M d^2

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