Seja
o momento de inércia de um corpo de massa
com relação a um eixo arbitrário. Mostre que o momento de inércia com relação a um eixo paralelo a este é
onde d é o vetor de separação entre os dois eixos e
fornece a separação entre o centro de massa e o primeiro eixo de rotação. No caso especial em que
(o primeiro eixo de rotação passa pelo centro de massa), este resultado é conhecido como Teorema dos Eixos Paralelos.
Passo 1
O enunciado pede para provar uma relação de momento de inércia entre dois eixos paralelos, usando como ferramenta básica a definição de momento de inércia e a noção de centro de massa. O conteúdo da matéria é o Teorema dos Eixos Paralelos generalizado para um eixo arbitrário que não passa pelo centro de massa. Vamos precisar da definição de momento de inércia como soma de ,“massas vezes distância ao quadrado” e da definição de centro de massa.
Passo 2
Definimos um sistema de partículas de massa
cada, cuja distância perpendicular ao primeiro eixo (origem) é o vetor
. Então o momento de inércia em relação a esse eixo é
Passo 3
Agora consideramos um segundo eixo paralelo ao primeiro, deslocado por um vetor
. Para cada partícula, a distância ao novo eixo é o vetor
Isso porque todo ponto ganha o mesmo deslocamento
em relação ao eixo original.
Passo 4
Expandimos o quadrado da norma do vetor deslocado:
Multiplicando por
e somando em
, obtemos
Passo 5
Reconhecendo os termos: o primeiro somatório é justamente
. O segundo tem
, onde
é o vetor posição do centro de massa em relação ao primeiro eixo. Chamamos esse vetor de separação de
. O terceiro somatório é
. Assim:
Passo 6
No caso especial em que o primeiro eixo passa pelo centro de massa, temos
, e a fórmula reduz-se a
que é o Teorema dos Eixos Paralelos clássico.
Resposta
I’=I+2\mathbf d\cdot\mathbf d_{cm}+M d^2