Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos cilindros x^2 + y^2 = 16 e x^2 + z^2 = 16 Resp: 64/3 u.v. )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (a parte onde x, y e z são positivos) e que é limitado por dois cilindros: e . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas, para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os cilindros que delimitam o sólido. O cilindro é um cilindro circular cujo eixo está na direção do eixo z, com raio 4 (já que ). Isso significa que, para cada valor de z, a seção transversal no plano xy é um círculo de raio 4.
Já o cilindro também é um cilindro circular, mas com eixo na direção do eixo y. Portanto, para cada valor de y, a seção transversal no plano xz é um círculo de raio 4.

Passo 3

Como estamos trabalhando no primeiro octante, sabemos que , e . Para facilitar a visualização e o cálculo, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para resolver problemas com simetria circular.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • O elemento de volume é

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r, θ e z.
Como estamos no primeiro octante, o ângulo θ vai de 0 a .
O raio r vai de 0 até onde os dois cilindros se interceptam. Vamos encontrar esse ponto de interseção:
Temos e . Igualando:
(já que estamos no primeiro octante onde y e z são positivos).
Portanto, o raio r varia de 0 a 4 (raio dos cilindros).
Para z, dado que e em termos de r e θ, , então z vai de 0 a .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume V:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a z:
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos em relação a r:
Então, a integral fica:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a θ:
Multiplicando pelo fator que veio antes:

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos cilindros é unidades de volume.

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