Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos cilindros
e
Resp:
u.v.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (a parte onde x, y e z são positivos) e que é limitado por dois cilindros:
e
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas, para achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os cilindros que delimitam o sólido. O cilindro
é um cilindro circular cujo eixo está na direção do eixo z, com raio 4 (já que
). Isso significa que, para cada valor de z, a seção transversal no plano xy é um círculo de raio 4.
Já o cilindro
também é um cilindro circular, mas com eixo na direção do eixo y. Portanto, para cada valor de y, a seção transversal no plano xz é um círculo de raio 4.
Passo 3
Como estamos trabalhando no primeiro octante, sabemos que
,
e
. Para facilitar a visualização e o cálculo, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para resolver problemas com simetria circular.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
- O elemento de volume é
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para r, θ e z.
Como estamos no primeiro octante, o ângulo θ vai de 0 a
.
O raio r vai de 0 até onde os dois cilindros se interceptam. Vamos encontrar esse ponto de interseção:
Temos
e
. Igualando:
→
(já que estamos no primeiro octante onde y e z são positivos).
Portanto, o raio r varia de 0 a 4 (raio dos cilindros).
Para z, dado que
e em termos de r e θ,
, então z vai de 0 a
.
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume V:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a z:
Então, a integral simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos em relação a r:
Então, a integral fica:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a θ:
Multiplicando pelo fator que veio antes:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos cilindros é
unidades de volume.