integral duplaD x y d A em que D é a região triangular com vértices (0,0),(1,2) e (0,4).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral duplaD x,y,dA
onde D é o triângulo com vértices (0,0), (1,2) e (0,4).
O conteúdo envolvido é a mudança para integrais iteradas e a descrição da região triangular por inequações lineares.

Passo 2

Para descrever D escolhemos varrer primeiro em x. Note que, para 0<= x<=1, as arestas de D dão:
– na parte inferior, a reta que liga (0,0) a (1,2):
ymin=2x,
– na parte superior, a reta que liga (0,4) a (1,2):
ymax=4-2x

Passo 3

Montamos a integral iterada
integral duplaD x,y,dA =integralx=0^1gl(integraly=2x^4-2x x,y,dygr)dx

Passo 4

Calculemos a integral interna em y:
integraly=2x^4-2x x,y,dy = xintegral2x^4-2x y,dy = x[y^22]y=2x^y=4-2x = x(4-2x)^2-(2x)^22
Expandindo (4-2x)^2-(2x)^2=16-16x, obtemos
integral2x^4-2x x,y,dy = x16-16x2 =8x-8x^2

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^1(8x-8x^2),dx =l[4x^2-tfrac83x^3r]0^1 =4-tfrac83 =tfrac12-83 =tfrac43

Resposta

integral duplaD x,y,dA = 43

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