integral duplaD 2 x y d A, D é a região por y=x^2 e x=y^2 Determine o volume do sólido dado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaD2xy,dA, onde D é a região limitada pelas curvas y=x^2 e x=y^2. Vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas e precisar descrever a região adequadamente.

Passo 2

Para identificar os limites de D, resolvemos o sistema
y = x^2,
x = y^2
que dá as interseções (0,0) e (1,1). Como em [0,1] temos x^2 <= x, a região fica
[
D = {(x,y):0 \le x \le 1,\quad x^2 \le y \le \sqrt{x}}.

Passo 3

O integral iterado fica
integral0^1integralx^2^raizx2xy,dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna:
integralx^2^raizx2x y,dy = 2xcdoty^22|y=x^2^y=raizx = xl((raizx)^2 - (x^2)^2r) = x(x - x^4) = x^2 - x^5

Passo 5

Agora a integral externa:
integral0^1(x^2 - x^5),dx = [x^33 - x^66]0^1 = 13 - 16 = 16

Resposta

16

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