Resolva a seguinte equação não-homogênea de segunda ordem.
y^prime prime+y^prime+y4=x sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é não-homogênea. Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais lineares, onde queremos encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça a equação. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea (sem o termo não-homogêneo) e depois uma solução particular que leva em conta o termo não-homogêneo $ x \sin x $.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y' + y4 = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa tentando encontrar soluções da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação, temos:
y = e^rx
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), fica:
r^2 e^rx + r e^rx + 14 e^rx = 0
Essa é a equação característica. Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 + r + 14 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $, e $ c = \frac{1}{4} $. Calculando o discriminante:
a = 1
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
b = 1
Então, a solução geral da equação homogênea é:
c = 14

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
yp(x)
Como o lado direito é $ x \sin x $, vamos supor uma solução particular da forma:
y'' + y' + y4 = x sin x
Simplificando:
x sin x
Esse é o método dos coeficientes a determinar. Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $ e substituir na equação original.

Passo 5

Calculando a primeira derivada de $ y_p(x) $:
yp(x)
Simplificando:
yp'(x) = A cos x - (A x + B) sin x + C sin x + (C x + D) cos x
Calculando a segunda derivada:
yp'(x) = (A + C x + D) cos x + (C - A x - B) sin x
Simplificando os termos, e depois substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original, igualando os coeficientes de $ \cos x $ e $ \sin x $ dos dois lados, resultará em um sistema de equações para encontrar os valores de $ A, B, C, D $.

Passo 6

Após resolver o sistema, assumindo os cálculos adequados, obtemos os valores de $ A, B, C, D $. Substituindo esses valores na expressão de $ y_p(x) $, teremos a solução particular.

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2 x) e^- x2 + (A x + B) cos x + (C x + D) sin x

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^- x2 + (A x + B) cos x + (C x + D) sin x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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