Resolva a seguinte equação não-homogênea de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é não-homogênea. Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais lineares, onde queremos encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça a equação. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea (sem o termo não-homogêneo) e depois uma solução particular que leva em conta o termo não-homogêneo $ x \sin x $.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa tentando encontrar soluções da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), fica:
Essa é a equação característica. Vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $, e $ c = \frac{1}{4} $. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
Como o lado direito é $ x \sin x $, vamos supor uma solução particular da forma:
Simplificando:
Esse é o método dos coeficientes a determinar. Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $ e substituir na equação original.
Passo 5
Calculando a primeira derivada de $ y_p(x) $:
Simplificando:
Calculando a segunda derivada:
Simplificando os termos, e depois substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original, igualando os coeficientes de $ \cos x $ e $ \sin x $ dos dois lados, resultará em um sistema de equações para encontrar os valores de $ A, B, C, D $.
Passo 6
Após resolver o sistema, assumindo os cálculos adequados, obtemos os valores de $ A, B, C, D $. Substituindo esses valores na expressão de $ y_p(x) $, teremos a solução particular.
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.