integral0^1 1x^5+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular I=integral0^11x^5+1,dx. É uma integral de função racional em que uma via prática é usar expansão em série de potências e integrar termo a termo.

Passo 2

Observamos que para |x|<1 vale a série geométrica
11+ x^5=sumk=0^infty(-1)^kx^5k

Passo 3

Integrando termo a termo no intervalo [0,1] (a série converge uniformemente em [0,1) e de forma alternada em x=1) temos
I=integral0^1sumk=0^infty(-1)^kx^5k,dx =sumk=0^infty(-1)^kintegral0^1x^5k,dx =sumk=0^infty(-1)^k15k+1

Passo 4

Portanto chegamos a uma expressão em série infinita que representa o valor exato da integral.

Resposta

integral0^11x^5+1,dx=sumk=0^infty(-1)^k15k+1

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