integral duplaR sin (x-y)cos (x+y) d A
sendo R a região limitada por y=0, y=x, x+y=pi / 4.
[Dica: use uma mudança de coordenadas conveniente]
Assinale a alternativa correta.
a. 12[ln (raiz2+1)-pi4]

Passo 1

A gente tem a integral dupla de sin(x-y)cos(x+y) na região R limitada por y=0, y=x e x+y=pi/4. O conteúdo aqui é usar mudança de variáveis para simplificar a integral.

Passo 2

Escolho a troca de variáveis
u = x - y, v = x + y
Invertendo,
x = u+v2, y = v-u2
O jacobiano é
partial(x,y)partial(u,v) = det1/2 & 1/2 -1/2 & 1/2 = 12,
então dx,dy = tfrac12,du,dv e o integrando vira sin u/cos v.

Passo 3

Agora determinamos a região em (u,v):
  • y=0 u=v.
  • y=x u=0.
  • x+y=pi/4 v=pi/4.
    Além disso, 0<= y<= x implica 0<= u<= v. Logo
0 <= u <= v <= pi4

Passo 4

A integral fica
integral duplaR sin(x-y)cos(x+y),dA = 12integralv=0^pi/4integralu=0^vsin ucos v,du,dv
Integramos primeiro em u:
integral0^vsin u,du = 1 - cos v
Isso leva a
12integral0^pi/41-cos vcos v,dv = 12integral0^pi/4(sec v - 1),dv

Passo 5

Agora integramos em v:
integral(sec v - 1),dv = lnlvertsec v + tan vrvert - v
Avaliando de 0 a pi/4
l[ln(raiz2+1) - tfracpi4r] - (0 - 0) = ln(raiz2+1) - pi4
Esse é o valor sem o fator tfrac12.

Resposta

tfrac12l[ln(raiz2+1) - tfracpi4r]

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