Encontrar a série de Fourier da função periódica (T=2 pi) e monótona por partes
f(x)=ll 0, & -pi

Passo 1

A função é periódica de período T=2\pi e está definida por partes: f(x)=0 em (-\pi,-\pi/2), f(x)=1 em (-\pi/2,\pi/2) e f(x)=0 em (\pi/2,\pi). O conteúdo que vamos usar é a teoria de séries de Fourier para função de período 2\pi, calculando os coeficientes a_0, a_n e b_n pelas integrais definidas.

Passo 2

Aproveitando a simetria, notamos que f(x) é uma função par (f(-x)=f(x)). Isso implica que todos os coeficientes b_n são zero. Os coeficientes a_0 e a_n ficam dados por:
a0 = 1piintegral-pi^pif(x),dx
an = 1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx = 2piintegral0^pif(x)cos(nx),dx

Passo 3

Para calcular a_0, basta integrar f(x) no período. Como f(x)=1 apenas em (-\pi/2,\pi/2) e zero no restante, temos:
a0 = 1piintegral-pi/2^pi/21,dx = 1pi cdot pi = 1

Passo 4

Agora, para a_n, note que f(x)=1 só em (-\pi/2,\pi/2). Usando a expressão para função par:
an = 2piintegral0^pi/21cdotcos(nx),dx = 2pi[sin(nx)n]0^pi/2 = 2npisinl(npi2r)

Passo 5

Como b_n=0 e temos a_0 e a_n, escrevemos a série de Fourier: f(x)=a_0/2 + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).

Resposta

f(x)=12+sumn=1^infty2npisinl(npi2r)cos(nx)

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