Encontrar a série de Fourier da função periódica
e monótona por partes
Passo 1
A função é periódica de período T=2\pi e está definida por partes: f(x)=0 em (-\pi,-\pi/2), f(x)=1 em (-\pi/2,\pi/2) e f(x)=0 em (\pi/2,\pi). O conteúdo que vamos usar é a teoria de séries de Fourier para função de período 2\pi, calculando os coeficientes a_0, a_n e b_n pelas integrais definidas.
Passo 2
Aproveitando a simetria, notamos que f(x) é uma função par (f(-x)=f(x)). Isso implica que todos os coeficientes b_n são zero. Os coeficientes a_0 e a_n ficam dados por:
Passo 3
Para calcular a_0, basta integrar f(x) no período. Como f(x)=1 apenas em (-\pi/2,\pi/2) e zero no restante, temos:
Passo 4
Agora, para a_n, note que f(x)=1 só em (-\pi/2,\pi/2). Usando a expressão para função par:
Passo 5
Como b_n=0 e temos a_0 e a_n, escrevemos a série de Fourier: f(x)=a_0/2 + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).