Em cada um dos Problemas 7 e 8, expresse a solução geral do sistema de equações dado em termos de funções reais.
Passo 1
Temos o sistema x' = Ax. Onde
A = -3 & 0 & 2 1 & -1 & 0 -2 & -1 & 0 O conteúdo deste problema é resolver um sistema linear de EDOs com coeficientes constantes. Para isso, vamos calcular o polinômio característico, determinar autovalores e autovetores e montar soluções reais.
Passo 2
Formamos o polinômio característico pela definição det(A - lambda I)=0. det(A-lambda I)=lambda^3+4lambda^2+7lambda+6=0 Fatorando, (lambda+2)(lambda^2+2lambda+3)=0, logo os autovalores são lambda1=-2 e lambda2,3=-1pm iraiz2.
Passo 3
Para lambda1=-2 resolvemos (A+2I)v=0. A+2I=-1 & 0 & 2 1 & 1 & 0 -2 & -1 & 2 Isso gera o sistema -x+2z=0, x+y=0, -2x-y+2z=0, cuja solução é v=t(2,-2,1). Escolhendo t=1, obtemos o autovetor real v1=2 -2 1
Passo 4
Para lambda=-1+iraiz2 resolvemos (A-lambda I)w=0 e encontramos um autovetor complexo w=a+ib, com a=2-13, b=-raiz2-raiz20
Passo 5
A partir de a e b montamos duas soluções reais para o par de autovalores complexos:
x2(t)=e^-tl(acos(raiz2t)-bsin(raiz2t)r),x3(t)=e^-tl(asin(raiz2t)+bcos(raiz2t)r) Assim temos três soluções fundamentais independentes: x1(t)=e^-2tv1, x2(t), x3(t) A solução geral é combinação linear dessas três.