Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada:
d)
é a região no primeiro octante limitado pelo cilindro
os planos
.
d)
Passo 1
O enunciado pede calcular
, onde
é a região no primeiro octante limitada pelo cilindro
e pelos planos
,
e
. O conteúdo é integração tripla em coordenadas cartesianas, precisaremos projetar a região no plano
para determinar limites adequados.
Passo 2
Projetando no plano
, a projeção é o setor circular
no primeiro quadrante (pois
). Para cada ponto
, o
varia de
até
. Logo os limites são
Passo 3
Escrevendo a integral iterada com esses limites, temos
Passo 4
Integramos primeiro em
, tratando
como constante:
Então a integral torna-se
Passo 5
Agora integramos em
:
A integral reduz-se a
Passo 6
Por fim, integramos em
:
Resposta
81/8