Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada:
d) f(x, y, z)=z ; W é a região no primeiro octante limitado pelo cilindro y^2+z^2=9 e os planos y=x, x=0, e z=0.

Passo 1

O enunciado pede calcular integralW z,dV, onde W é a região no primeiro octante limitada pelo cilindro y^2+z^2=9 e pelos planos x=0, y=x e z=0. O conteúdo é integração tripla em coordenadas cartesianas, precisaremos projetar a região no plano yz para determinar limites adequados.

Passo 2

Projetando no plano yz, a projeção é o setor circular y^2+z^2<=9 no primeiro quadrante (pois y,z>=0). Para cada ponto (y,z), o x varia de 0 até y. Logo os limites são
0<= x<= y, 0<= z<=raiz9-y^2, 0<= y<=3

Passo 3

Escrevendo a integral iterada com esses limites, temos
integraly=0^3integralz=0^raiz9-y^2integralx=0^y z,dx,dz,dy

Passo 4

Integramos primeiro em x, tratando z como constante:
integralx=0^y z,dx = zintegral0^y dx = zy
Então a integral torna-se
integraly=0^3integralz=0^raiz9-y^2 yz,dz,dy

Passo 5

Agora integramos em z:
integralz=0^raiz9-y^2 yz,dz = yintegral0^raiz9-y^2 z,dz = yl[tfrac12 z^2r]0^raiz9-y^2 = tfrac12y(9-y^2)
A integral reduz-se a
integraly=0^3 tfrac12(9y - y^3),dy

Passo 6

Por fim, integramos em y:
integral0^3 tfrac12(9y - y^3),dy = tfrac12l[tfrac92y^2 - tfrac14y^4r]0^3 = tfrac12l(tfrac812 - tfrac814r) = tfrac818

Resposta

81/8

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