integral duplaS(x^3+y^3+z) d S
S é o paralelogramo com equações paramétricas:
x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 <= u <= 2,0 <= v <= 1

Passo 1

Temos um integral de superfície de uma função escalar f(x,y,z)=x^3+y^3+z sobre o paralelogramo descrito pelas equações paramétricas
r(u,v)=(x,y,z)=(u+v,;u-v,;1+2u+v), 0<= u<=2,;0<= v<=1
O conteúdo envolve a fórmula de integral de superfície para função escalar:
integral duplaS f,dS=integral duplaD f(r(u,v)),l|rutimes rvr|,du,dv
Precisamos calcular as derivadas parciais de r e o produto vetorial para achar dS.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de r(u,v):
ru=partial rpartial u=(1,;1,;2), rv=partial rpartial v=(1,;-1,;1)
Agora o produto vetorial:
rutimes rv=(1,1,2)times(1,-1,1)=(3,;1,;-2)

Passo 3

Determinamos o elemento de área como o módulo desse vetor:
|rutimes rv|=raiz3^2+1^2+(-2)^2=raiz14

Passo 4

Substituímos x=u+v, y=u-v e z=1+2u+v em f:
f(r(u,v))=(u+v)^3+(u-v)^3+(1+2u+v)

Passo 5

Simplificando a expressão de f(r(u,v)):
(u+v)^3+(u-v)^3=2u^3+6uv^2,
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f(r(u,v))=2u^3+6u v^2+1+2u+v

Passo 6

Montamos a integral dupla em (u,v):
integral duplaS f,dS=integralu=0^2integralv=0^1l(2u^3+6u v^2+2u+v+1r),raiz14,dv,du

Passo 7

Integramos primeiro em v:
integral0^1l(2u^3+2u+1r)dv=2u^3+2u+1,
integral0^1 6u v^2,dv=6ucdot1^33=2u,
integral0^1 v,dv=12
Somando dá
2u^3+2u+1+2u+tfrac12=2u^3+4u+tfrac32

Passo 8

Agora integramos em u de 0 a 2 e multiplicamos por raiz14:
integral0^2l(2u^3+4u+tfrac32r)du=l[tfracu^42+2u^2+tfrac32ur]0^2=8+8+3=19
Portanto a integral de superfície vale 19raiz14.

Resposta

19\sqrt{14}

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