é o cone com equações paramétricas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
sobre o cone definido pela parametrização
com
e
. O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar, e vamos precisar usar a fórmula
.
Passo 2
A primeira coisa é montar o vetor de parametrização
. Em seguida calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Agora encontramos o vetor normal (não normalizado) pelo produto vetorial:
Passo 4
A magnitude desse vetor dá o fator de área:
$$\lVert r_u\times r_v\rVert=\sqrt{(-u\cos v)^2+(-u\sin v)2+u2}=u\sqrt{2}.
$$
Passo 5
Substituímos tudo na integral. O ponto
vira
, então
. O elemento de área é
. Logo o integrando completo é
$$u^3\cos v\sin v\cdot u\sqrt2 = u^4\sqrt2\cos v\sin v.
$$
Passo 6
Ficamos com
$$\iint_S x y z,dS=\int_{v=0}{\pi/2}\int_{u=0}1 u^4\sqrt2\cos v\sin v,du,dv.
$$
Passo 7
Como a integral separa, escrevemos
$$=\sqrt2\Bigl(\int_0^1 u4,du\Bigr)\Bigl(\int_0{\pi/2}\cos v\sin v,dv\Bigr).
$$
Passo 8
Calculemos cada parte:
$$\int_0^1 u^4,du=\frac{1}{5},\quad \int_0^{\pi/2}\cos v\sin v,dv=\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\sin(2v),dv=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}.
$$
Passo 9
Multiplicando tudo:
$$\iint_S x y z,dS=\sqrt2\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt2}{10}.
$$