integral duplaS x y z d S
S é o cone com equações paramétricas:
x=u cos v, y=u sin v, z=u, 0 <= u <= 1,0 <= v <= pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS x y z ,dS sobre o cone definido pela parametrização x=ucos v,;y=usin v,;z=u com 0<= u<=1 e 0<= v<=pi/2. O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar, e vamos precisar usar a fórmula dS=lVert rutimes rvrVert,du,dv.

Passo 2

A primeira coisa é montar o vetor de parametrização r(u,v)=(ucos v,;usin v,;u). Em seguida calculamos as derivadas parciais:
ru=(cos v,;sin v,;1), rv=(-usin v,;ucos v,;0)

Passo 3

Agora encontramos o vetor normal (não normalizado) pelo produto vetorial:
rutimes rv=(-ucos v,;-usin v,;u)

Passo 4

A magnitude desse vetor dá o fator de área:
$$\lVert r_u\times r_v\rVert=\sqrt{(-u\cos v)^2+(-u\sin v)2+u2}=u\sqrt{2}.
$$

Passo 5

Substituímos tudo na integral. O ponto (x,y,z) vira (ucos v,usin v,u), então x y z=ucos vcdot usin vcdot u=u^3cos vsin v. O elemento de área é uraiz2,du,dv. Logo o integrando completo é
$$u^3\cos v\sin v\cdot u\sqrt2 = u^4\sqrt2\cos v\sin v.
$$

Passo 6

Ficamos com
$$\iint_S x y z,dS=\int_{v=0}{\pi/2}\int_{u=0}1 u^4\sqrt2\cos v\sin v,du,dv.
$$

Passo 7

Como a integral separa, escrevemos
$$=\sqrt2\Bigl(\int_0^1 u4,du\Bigr)\Bigl(\int_0{\pi/2}\cos v\sin v,dv\Bigr).
$$

Passo 8

Calculemos cada parte:
$$\int_0^1 u^4,du=\frac{1}{5},\quad \int_0^{\pi/2}\cos v\sin v,dv=\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\sin(2v),dv=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}.
$$

Passo 9

Multiplicando tudo:
$$\iint_S x y z,dS=\sqrt2\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt2}{10}.
$$

Resposta

dfracraiz210

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