A integral
integral duplaS(2 x+2 zx, 2 y+2, e^x y z) cdot d S
em que S é superfície do cilindro x^2+y^2=16 que está entre os planos z=0 e z=4 com orientação para fora do cilindro, é igual a

Passo 1

O enunciado pede calcular o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z)=l(2x+tfrac2zx,,2y+2,,e^xyzr)
através da superfície lateral do cilindro x^2+y^2=16 entre os planos z=0 e z=4, com orientação para fora. Para isso vamos parametrizar o cilindro, encontrar o vetor normal unitário e avaliar a integral dupla de superfície.

Passo 2

O vetor normal não unitário à superfície x^2+y^2=16 é (x,y,0). Como a normal deve apontar para fora, o vetor normal unitário é
n=l(tfracx4,,tfracy4,,0r),
pois o raio do cilindro é 4.

Passo 3

Calcule o produto escalar Fcdotn:
Fcdotn &=l(2x+tfrac2zxr)tfracx4 ;+;(2y+2)tfracy4;+;e^xyzcdot0 &=2x^2+2z4+2y^2+2y4 =2(x^2+y^2)+2(y+z)4 =32+2y+2z4 =8+y+z2

Passo 4

Parametrize a superfície lateral por
x=4costheta, y=4sintheta, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=4
O elemento de área é
dS=4,dtheta,dz

Passo 5

Monte a integral de superfície:
integral duplaSFcdot dS =integral0^2pi!!integral0^4l(8+tfracy+z2r),4,dz,dtheta =integral0^2pi!!integral0^4l(32+8sintheta+2zr),dz,dtheta
Calcule primeiro a integral em z:
integral0^4(32+8sintheta+2z),dz =32cdot4+8sinthetacdot4+2cdot4^22 =128+32sintheta+16 =144+32sintheta

Passo 6

Agora integre em theta:
integral0^2pi(144+32sintheta),dtheta =144cdot2pi+32integral0^2pisintheta,dtheta =288pi+0 =288pi

Resposta

288pi

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