Se r(t)=t^2 cdot imath+e^t cdot jmath+sen t cdot k e s(t)=cos t cdot imath+e^-t cdot jmath+t cdot k, ache o produto interno usual: r(t) cdot s(t)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem duas funções vetoriais, r(t) e s(t), e a missão é encontrar o produto interno delas, que é representado por r(t) cdot s(t).
Conteúdo: Produto interno de vetores.
O que precisamos: Saber como calcular o produto interno (também chamado de produto escalar) entre duas funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno. O produto interno entre dois vetores a = ax imath + ay jmath + az k e b = bx imath + by jmath + bz k é calculado assim:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Isso significa que a gente multiplica as componentes correspondentes dos vetores e soma os resultados.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às nossas funções vetoriais r(t) e s(t).
Dadas as funções:
r(t) = t^2 cdot imath + e^t cdot jmath + sin t cdot k
s(t) = cos t cdot imath + e^-t cdot jmath + t cdot k
Vamos identificar as componentes:
  • Para r(t):
    • ax = t^2
    • ay = e^t
    • az = sin t
  • Para s(t):
    • bx = cos t
    • by = e^-t
    • bz = t

Passo 4

A gente agora calcula o produto interno usando a fórmula que vimos:
r(t) cdot s(t) = ax bx + ay by + az bz
Substituindo as componentes:
r(t) cdot s(t) = (t^2)(cos t) + (e^t)(e^-t) + (sin t)(t)
Vamos simplificar cada termo:
  1. t^2 cdot cos t fica t^2 cos t
  2. e^t cdot e^-t é igual a e^t - t = e^0 = 1
  3. sin t cdot t fica t sin t
Então, juntando tudo:
r(t) cdot s(t) = t^2 cos t + 1 + t sin t

Resposta

O produto interno r(t) cdot s(t) é igual a:
r(t) cdot s(t) = t^2 cos t + 1 + t sin t

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