Uma integral imprópria do tipo II é definida como
\int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x
se este limite existir. Calcule as seguintes integrais impróprias considerando a>0.
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-a x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria do tipo II
\int_{0}^{\infty} x^{3}e^{-a x}\,dx
com a>0. Para isso vamos usar integração por partes de modo a obter uma fórmula recursiva para \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{n}e^{-a x}\,dx.

Passo 2

Aplique integração por partes com
u = x^{n}, \quad dv = e^{-a x}\,dx,
então
du = n\,x^{n-1}\,dx, \quad v = -\frac{1}{a}e^{-a x}.
Logo,
\int_{0}^{\infty} x^{n}e^{-a x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\frac{x^{n}}{a}e^{-a x}\Bigr]_{0}^{b} +\frac{n}{a}\int_{0}^{\infty} x^{n-1}e^{-a x}\,dx.
Como a>0 o termo b^{n}e^{-a b}\to0 quando b\to\infty, e em x=0 o termo é zero. Portanto surge a recursão
\int_{0}^{\infty} x^{n}e^{-a x}\,dx =\frac{n}{a}\int_{0}^{\infty} x^{n-1}e^{-a x}\,dx.

Passo 3

Usando o caso base n=0:
\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx =\Bigl[-\tfrac{1}{a}e^{-a x}\Bigr]_{0}^{\infty} =\frac{1}{a}.
Para n=1 a recursão dá
\int_{0}^{\infty} x\,e^{-a x}\,dx =\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx =\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a} =\frac{1}{a^{2}}.
Para n=2 temos
\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-a x}\,dx =\frac{2}{a}\int_{0}^{\infty} x\,e^{-a x}\,dx =\frac{2}{a}\cdot\frac{1}{a^{2}} =\frac{2}{a^{3}}.

Passo 4

Finalmente, para n=3:
\int_{0}^{\infty} x^{3}e^{-a x}\,dx =\frac{3}{a}\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-a x}\,dx =\frac{3}{a}\cdot\frac{2}{a^{3}} =\frac{6}{a^{4}}.

Resposta

\int_{0}^{\infty} x^{3}e^{-a x}\,dx =\frac{6}{a^{4}}.

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