Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potência. Se o raio de convergência for finito, verifique a convergência nos pontos da fronteira.
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{2^{2 k}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{2^{2k}}
que é uma série do tipo \sum a_k x^k com
a_k = \frac{1}{2^{2k}} = \frac{1}{4^k}.
O que vamos usar é o Teste da Razão para séries de potências e, depois, testar separadamente os pontos da fronteira x=\pm4.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão. Considere o termo geral
u_k = \frac{x^k}{4^k}.
Então
\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right| = \left|\frac{x^{k+1}/4^{\,k+1}}{x^k/4^k}\right| = \left|\frac{x}{4}\right|.
Pelo Teste da Razão, a série converge se
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right| = \left|\frac{x}{4}\right| < 1.

Passo 3

Da condição \bigl|x/4\bigr|<1 obtemos
|x| < 4.
Portanto, o raio de convergência é R=4 e a série converge absolutamente para
-4 < x < 4.

Passo 4

Testando o ponto x=4: o termo geral fica
u_k = \frac{4^k}{4^k} = 1,
logo a série torna-se
\sum_{k=0}^{\infty}1,
que diverge (soma de infinitos 1).

Passo 5

Testando o ponto x=-4: o termo geral é
u_k = \frac{(-4)^k}{4^k} = (-1)^k,
então a série é
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k.
Essa série não tem limite para as somas parciais (oscila entre 1 e 0), logo não converge.

Resposta

A série converge somente para -4 < x < 4. Nos pontos da fronteira x=\pm4 diverge.

Exercícios relacionados