Seja P_{n} o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n. Seja D: P_{4} \rightarrow P_{3} o operador de diferenciação e seja T: P_{3} \rightarrow P_{4} o operador de integração que mapeia o polinômio p(x) no polinômio P(x)=\int_{0}^{x} p(t) d t. Calcule a representação matricial destas transformações lineares utilizando a base canônica de P_{n}. Mostre que D T=\mathbb{1} e que T D \neq \mathbb{1}. Descreva o núcleo da transformação T D.
CÁLCULO
Passo 1
O enunciado define P_{n} como o espaço dos polinômios de grau \le n. Temos o operador de diferenciação
Usaremos as bases canônicas \{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\} em P_{4} e \{1,x,x^{2},x^{3}\} em P_{3}. Vamos achar as matrizes de D e T, mostrar que D\,T=1_{P_{3}} e que T\,D\neq1_{P_{4}}, e descrever \ker(TD).