Seja P_{n} o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n. Seja D: P_{4} \rightarrow P_{3} o operador de diferenciação e seja T: P_{3} \rightarrow P_{4} o operador de integração que mapeia o polinômio p(x) no polinômio P(x)=\int_{0}^{x} p(t) d t. Calcule a representação matricial destas transformações lineares utilizando a base canônica de P_{n}. Mostre que D T=\mathbb{1}𝟙 e que T D \neq \mathbb{1}𝟙. Descreva o núcleo da transformação T D.

CÁLCULO

Passo 1

O enunciado define P_{n} como o espaço dos polinômios de grau \le n. Temos o operador de diferenciação
D\colon P_{4}\to P_{3},\quad D\bigl(p(x)\bigr)=p'(x),
e o operador de integração
T\colon P_{3}\to P_{4},\quad T\bigl(p(x)\bigr)=\int_{0}^{x}p(t)\,dt.
Usaremos as bases canônicas \{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\} em P_{4} e \{1,x,x^{2},x^{3}\} em P_{3}. Vamos achar as matrizes de D e T, mostrar que D\,T=1_{P_{3}} e que T\,D\neq1_{P_{4}}, e descrever \ker(TD).

Passo 2

Para cada vetor-base de P_{4},
D(1)=0,\quad D(x)=1,\quad D(x^{2})=2x,\quad D(x^{3})=3x^{2},\quad D(x^{4})=4x^{3}.
Em coordenadas na base \{1,x,x^{2},x^{3}\} de P_{3}, as colunas da matriz de D são
[D]= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para cada vetor-base de P_{3},
T(1)=x,\quad T(x)=\tfrac{x^{2}}{2},\quad T(x^{2})=\tfrac{x^{3}}{3},\quad T(x^{3})=\tfrac{x^{4}}{4}.
Em coordenadas na base \{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\} de P_{4}, as colunas da matriz de T são
[T]= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac13 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac14 \end{pmatrix}.

Passo 4

O produto matricial D\,T é uma matriz 4\times4. Pelo cálculo ou pela regra básica \frac{d}{dx}\!\bigl(\int_{0}^{x}p(t)\,dt\bigr)=p(x), obtemos
D\,T = I_{4},
ou seja, D\,T=1_{P_{3}}.

Passo 5

O produto T\,D é uma matriz 5\times5. Na forma de operadores, para p\in P_{4},
(TD)(p)(x)=\int_{0}^{x}p'(t)\,dt = p(x)-p(0),
logo TD\neq1_{P_{4}} pois anula a componente constante.

Passo 6

\ker(TD)=\{p\in P_{4}\mid p(x)-p(0)=0\\ \forall x\} é o espaço dos polinômios constantes. Assim
\ker(TD)=\mathrm{span}\{1\}.

Resposta

[D]= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad [T]= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac13 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac14 \end{pmatrix}.
D\,T=1_{P_{3}},\quad T\,D\neq1_{P_{4}},\quad \ker(TD)=\mathrm{span}\{1\}.

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