(2.0) A integral indefinida é um conceito fundamental do cálculo integral. Ela representa familia de todas as funções primitivas (ou antiderivadas) de uma função dada. Calcule integral indefinida dada abaixo:
\int\left(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{t}\right)\,dt.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável de integração é t.
  • A integranda é a soma de três termos: \dfrac{e^{t}}{2}, \sqrt{t} e \dfrac{1}{t}.
  • Queremos uma família de primitivas (antiderivadas), ou seja, o resultado deve conter a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Regra útil que vamos usar: a integral é linear. Isso significa duas coisas importantes:
\int\big(f(t)+g(t)\big)\,dt=\int f(t)\,dt+\int g(t)\,dt
e, se a é constante,
\int a\,f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt.
Ou seja, podemos separar a integral em três integrais mais simples e puxar constantes para fora:
\int\left(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{t}\right)\,dt = \int\frac{e^{t}}{2}\,dt+\int\sqrt{t}\,dt+\int\frac{1}{t}\,dt.

Passo 3

Integrando o primeiro termo \dfrac{e^{t}}{2}.
Puxo a constante \dfrac{1}{2} para fora:
\int\frac{e^{t}}{2}\,dt=\frac{1}{2}\int e^{t}\,dt.
Sabemos que a primitiva de e^{t} é e^{t}, porque a derivada de e^{t} é e^{t}. Portanto
\frac{1}{2}\int e^{t}\,dt=\frac{1}{2}e^{t}.

Passo 4

Integrando o segundo termo \sqrt{t}.
Reescrevo \sqrt{t} como potência:
\sqrt{t}=t^{1/2}.
Usamos a regra da potência para integração: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é o expoente da potência. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int t^{1/2}\,dt=\frac{t^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{t^{3/2}}{3/2}.
Fazendo a divisão por 3/2 obtemos
\frac{t^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}t^{3/2}.

Passo 5

Integrando o terceiro termo \dfrac{1}{t}.
Note que \dfrac{1}{t}=t^{-1}. A regra da potência falha para n=-1 (pois dividir por n+1=0 não dá certo). Em vez disso, usa-se a primitiva
\int t^{-1}\,dt=\int\frac{1}{t}\,dt=\ln|t| + C,
porque a derivada de \ln|t| é \dfrac{1}{t} para t\neq 0.
Observação sobre domínio: como a integranda tem \sqrt{t} (exigindo t\ge 0) e \dfrac{1}{t} (exigindo t\neq 0), para integrais reais geralmente consideramos t>0. Nesse caso \ln|t| pode ser escrito simplesmente como \ln t. Ainda assim, a forma padrão da primitiva de \dfrac{1}{t} é \ln|t|.

Passo 6

Somando as três primitivas e acrescentando a constante geral de integração C, obtemos a primitiva da integranda inteira:
\int\left(\frac{e^{t}}{2}+\sqrt{t}+\frac{1}{t}\right)\,dt = \frac{1}{2}e^{t}+\frac{2}{3}t^{3/2}+\ln|t|+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}e^{t}+\frac{2}{3}t^{3/2}+\ln|t|+C

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