(2.0) A integral indefinida é um conceito fundamental do cálculo integral. Ela representa familia de todas as funções primitivas (ou antiderivadas) de uma função dada. Calcule integral indefinida dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
- A variável de integração é
. - A integranda é a soma de três termos:
, e . - Queremos uma família de primitivas (antiderivadas), ou seja, o resultado deve conter a constante arbitrária de integração
.
Passo 2
Regra útil que vamos usar: a integral é linear. Isso significa duas coisas importantes:
e, se
é constante,
Ou seja, podemos separar a integral em três integrais mais simples e puxar constantes para fora:
Passo 3
Integrando o primeiro termo
.
Puxo a constante
para fora:
Sabemos que a primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Portanto
Passo 4
Integrando o segundo termo
.
Reescrevo
como potência:
Usamos a regra da potência para integração: para
,
onde
é o expoente da potência. Aqui
, então
Fazendo a divisão por
obtemos
Passo 5
Integrando o terceiro termo
.
Note que
. A regra da potência falha para
(pois dividir por
não dá certo). Em vez disso, usa-se a primitiva
porque a derivada de
é
para
.
Observação sobre domínio: como a integranda tem
(exigindo
) e
(exigindo
), para integrais reais geralmente consideramos
. Nesse caso
pode ser escrito simplesmente como
. Ainda assim, a forma padrão da primitiva de
é
.
Passo 6
Somando as três primitivas e acrescentando a constante geral de integração
, obtemos a primitiva da integranda inteira: